Nous étudions l'hyperbolicité des compactifications de quotients de domaines symétriques bornés par des groupes arithmétiques. Nous prouvons, qu'à un revêtement étale fini près, ils sont hyperboliques au sens de Kobayashi modulo le bord. En appliquant ces techniques aux variétés de Siegel modulaires, nous améliorons des résultats antérieurs de Nadel sur la non-existence de certaines structures de niveau pour les variétés abéliennes définies sur des corps de fonctions.