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Géométrie discrète et surfaces isotropes

Discrete geometry and isotropic surfaces

François JAUBERTEAU, Yann ROLLIN, Samuel TAPIE
Géométrie discrète et surfaces isotropes
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  • Année : 2019
  • Tome : 161
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 5299, 53D12, 39A14, 39A70, 47B39, 53D50, 53D20, 53D30
  • Nb. de pages : vii+100
  • ISBN : 978-2-85629-905-0
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.469

Nous considérons des immersions lisses et isotropes du tore de vers $\mathbb{R}^{2n}$, pour $n\geq 2$. Quand $n=2$ l'image d'une telle application est un tore lagrangien immergé de $\mathbb{R}^4$. Nous démontrons que de telles immersions isotropes peuvent être approximées au sens $C^0$, par des applications linéaires par morceaux et isotropes arbitrairement proches.  Si $n\geq 3$, il est possible des choisir des applications linéaires par morceaux qui sont de plus des immersions.

Les démonstrations reposent sur des analogies avec une géométrie et une application moment en dimension infinie introduites par Donaldson. Nous en déduisons un flot en dimension finie, dont les limites, du point de vue expérimental, produisent de nombreux exemples de tores lagrangiens linéraires par morceaux de $\mathbb{R}^4$. Le programme libre DMMF,  basé sur la méthode d'Euler, montre l'équation d'évolution sous forme de film.

We consider  smooth isotropic immersions from the $2$-dimension-al torus into $\mathbb{R}^{2n}$, for $n\geq 2$. When $n=2$ the image of such map is an immersed Lagrangian torus of $\mathbb{R}^4$. We prove that such isotropic immersions  can be approximated by arbitrarily $C^0$-close piecewise linear isotropic maps. If $n\geq 3$ the piecewise linear isotropic maps can be chosen so that they are piecewise linear isotropic immersions as well.

The proofs are obtained using analogies with an infinite dimensional moment map geometry due to Donaldson. As a byproduct of these considerations, we introduce a numerical flow in finite dimension,  whose limit  provide, from an experimental perspective, many examples of piecewise linear Lagrangian tori in $\mathbb{R}^4$. The DMMF program, which is freely available, is based on the Euler method and shows the evolution equation of discrete surfaces in real time, as a movie.

Géométrie discrète, variétés linéaires par morceaux, tores lagrangiens, tores isotropes, laplacien discret, application moment discrète
Discrete geometry, piecewise linear submanifolds, Lagrangian tori, isotropic tori, discrete Laplacian, discrete moment map
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