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Groupes de tresses en type ADE, monoïdes de Garside et le réseau des racines catégorifié

Braid groups of type ADE, Garside monoids, and the categorified root lattice

Anthony M. LICATA & Hoel QUEFFELEC
Groupes de tresses en type ADE, monoïdes de Garside et le réseau des racines catégorifié
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 2
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20F36, 18G55, 17B22
  • Pages : 503-548
  • DOI : 10.24033/asens.2464

Nous étudions les groupes $B_W$ des tresses d'Artin-Tits en type ADE via leur action sur $K$, la catégorie d'homotopie des modules projectifs gradués sur l'algèbre zig-zag (qui catégorifie l'action du groupe de Weyl $W$ sur le réseau des racines). En suivant Brav-Thomas [10], nous définissons une métrique sur $B_W$ induite par la $t$-structure canonique sur $K$, et nous prouvons que cette métrique sur $B_W$ recouvre la longueur-mot dans les générateurs canoniques du monoïde positif standard $B_W^+$. Nous définissons également, pour chaque choix d'un élément de Coxeter $c$ dans $W$, une structure barique sur $K$. Nous utilisons ces structures bariques pour définir des métriques sur le groupe des tresses, et nous identifions ces métriques avec les longueurs-mot dans les générateurs duaux de Birman-Ko-Lee/Bessis du monoïde positif dual associé $B_{W.c}^\vee$. Partant, nous donnons de nouvelles preuves de l'injection des monoïdes positifs standard et dual dans le groupe, nous donnons des solutions basées sur de l'algèbre linéaire au problème d'appartenance aux monoïdes positifs standard et dual, et nous construisons une preuve nouvelle de la fidélité de l'action de $B_W$ sur $K$. Enfin, nous utilisons la compatibilité de la structure barique et de la $t$-structure sur $K$ pour prouver une conjecture de Digne et Gobet sur la longueur-mot canonique des générateurs duaux simples dans les groupes de tresses de type ADE.

We study Artin-Tits braid groups $B_W$ of type ADE via the action of $B_W$ on the homotopy category $K$ of graded projective zigzag modules (which categorifies the action of the Weyl group $W$ on the root lattice).  Following Brav-Thomas [10], we define a metric on $B_W$ induced by the canonical $t$-structure on $K$, and prove that this metric on $B_W$ agrees with the word-length metric in the canonical generators of the standard positive monoid $B_W^+$ of the braid group.  We also define, for each choice of a Coxeter element $c$ in $W$, a baric structure on $K$. We use these baric structures to define metrics on the braid group, and we identify these metrics with the word-length metrics in the Birman-Ko-Lee/Bessis dual generators of the associated dual positive monoid $B_{W.c}^\vee$.  As consequences, we give new proofs that the standard and dual positive monoids inject into the group, give linear-algebraic solutions to the membership problem in the standard and dual positive monoids, and provide new proofs of the faithfulness of the action of $B_W$ on $K$.  Finally, we use the compatibility of the baric and $t$-structures on $K$ to prove a conjecture of Digne and Gobet regarding the canonical word-length of the dual simple generators of ADE braid groups.

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