Nous étudions les groupes $B_W$ des tresses d'Artin-Tits en type ADE via leur action sur $K$, la catégorie d'homotopie des modules projectifs gradués sur l'algèbre zig-zag (qui catégorifie l'action du groupe de Weyl $W$ sur le réseau des racines). En suivant Brav-Thomas [10], nous définissons une métrique sur $B_W$ induite par la $t$-structure canonique sur $K$, et nous prouvons que cette métrique sur $B_W$ recouvre la longueur-mot dans les générateurs canoniques du monoïde positif standard $B_W^+$. Nous définissons également, pour chaque choix d'un élément de Coxeter $c$ dans $W$, une structure barique sur $K$. Nous utilisons ces structures bariques pour définir des métriques sur le groupe des tresses, et nous identifions ces métriques avec les longueurs-mot dans les générateurs duaux de Birman-Ko-Lee/Bessis du monoïde positif dual associé $B_{W.c}^\vee$. Partant, nous donnons de nouvelles preuves de l'injection des monoïdes positifs standard et dual dans le groupe, nous donnons des solutions basées sur de l'algèbre linéaire au problème d'appartenance aux monoïdes positifs standard et dual, et nous construisons une preuve nouvelle de la fidélité de l'action de $B_W$ sur $K$. Enfin, nous utilisons la compatibilité de la structure barique et de la $t$-structure sur $K$ pour prouver une conjecture de Digne et Gobet sur la longueur-mot canonique des générateurs duaux simples dans les groupes de tresses de type ADE.