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Groupes proprement proximaux et leurs algèbres de von Neumann

Properly proximal groups and their von Neumann algebras

Rémi BOUTONNET, Adrian IOANA & Jesse PETERSON
Groupes proprement proximaux et leurs algèbres de von Neumann
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 2
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20G25, 20E32, 22D25, 37A20, 46L10
  • Pages : 445-482
  • DOI : 10.24033/asens.2462

Nous introduisons une large classe de groupes, dits proprement proximaux, qui contient tous les groupes bi-exacts non-moyennables, les groupes de convergence non-élémentaires, et les réseaux dans des groupes de Lie semi-simples non-compacts, mais aucun groupe intérieurement moyennable. Nous montrons que les facteurs II$_1$ qui sont des produits croisés par des actions libres ergodiques préservant une mesure de probabilité de tels groupes ont au plus une seule sous-algèbre de Cartan compacte, à conjugaison près. Comme application, nous déduisons les premiers résultats de $W^*$-rigidité pour des actions compactes de $SL_n(\mathbb{Z})$.

We introduce a wide class of countable groups, called properly proximal, which contains all non-amenable bi-exact groups, all non-elementary convergence groups, and all lattices in non-compact semi-simple Lie groups, but excludes all inner amenable groups. We show that crossed product II$_1$ factors arising from free ergodic probability measure preserving actions of groups in this class have at most one weakly compact Cartan subalgebra, up to unitary conjugacy. As an application, we obtain the first $W^*$-strong rigidity results for compact actions of $SL_d(\mathbb Z)$ for $d \geq 3$.

Classification des facteurs II$_1$, sous-algèbres de Cartan, proximalité, groupes bi-exacts, réseaux en rang supérieur
Classification of II$_1$-factors, Cartan subalgebras, proximality, bi-exact groups, higher rank lattices
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