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Convergence des marches auto-évitantes sur des quadrangulations aléatoires vers le processus SLE$_{8/3}$ sur une gravité quantique de Liouville de paramètre $\sqrt{8/3}$

Convergence of the self-avoiding walk on random quadrangulations to SLE$_{8/3}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity

Ewain GWYNNE & Jason MILLER
Convergence des marches auto-évitantes sur des quadrangulations aléatoires vers le processus SLE$_{8/3}$ sur une gravité quantique de Liouville de paramètre $\sqrt{8/3}$
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 2
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60J67, 60D05, 05C80, 60F17
  • Pages : 305-405
  • DOI : 10.24033/asens.2460

Nous considérons une configuration consistant en une quadrangulation aléatoire infinie uniforme du demi-plan, décorée par un chemin auto-évitant infini, également aléatoire. Nous montrons dans cet article que dans la limite d'échelle, la loi de cette configuration converge vers le recollement métrique de deux demi-plans Browniens le long de leurs demi-droites positives (les demi-plans Browniens sont des métriques aléatoires définies sur le demi-plan).

En combinant ce résultat avec ceux de nos articles antérieurs, ceci complète la preuve de la convergence en loi de ces configurations vers celle d'un SLE$_{8/3}$ dessiné sur une surface aléatoire dite de gravité quantique de Liouville de paramètre $\sqrt{8/3}$. Nous établissons également le résultat analogue pour des quadrangulations uniformes du plan (au lieu du demi-plan) décoré par des marches auto-évitantes infinies ou bi-infinies.

Ces convergences sont établies pour la topologie de Gromov-Hausdorff-Prohorov, qui est l'extension naturelle de la topologie de Gromov-Hausdorff pour ce type de configurations consistant en un espace métrique décoré par une courbe.  

Notre preuve utilise la procédure d'exploration des quandrangulations aléatoires par épluchage et certaines propriétés de base du demi-plan Brownien, de sorte que le présent article ne demande aucun prérequis sur les processus SLE ou la gravité quantique de Liouville.

We prove that a uniform infinite quadrangulation of the half-plane decorated by a self-avoiding walk (SAW) converges in the scaling limit to the metric gluing of two independent Brownian half-planes identified along their positive boundary rays.  Combined with other work of the authors, this implies the convergence of the SAW on a random quadrangulation to SLE$_{8/3}$ on a certain $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity surface.  The topology of convergence is the local Gromov-Hausdorff-Prokhorov-uniform topology, the natural generalization of the local Gromov-Hausdorff topology to curve-decorated metric measure spaces.  We also prove analogous scaling limit results for uniform infinite quadrangulations of the whole plane decorated by either a one-sided or two-sided SAW. Our proof uses only the peeling procedure for random quadrangulations and some basic properties of the Brownian half-plane, so that it can be read without any knowledge of SLE or LQG.

Carte planaire aléatoire, quadrangulation infinie uniforme du demi-plan, marche auto-évitante, demi-plan brownien, recollement de métriques, évolution de Schramm-Loewner, gravité quantique de Liouville
Random planar map, Uniform infinite half-plane quadrangulation, Self-avoiding walk, Brownian half-plane, Metric gluing, Schramm-Loewner evolution, Liouville quantum gravity
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