SMF

Sur le problème d'annulation en cohomologie pour les actions à cocycle de groupes sur les facteurs II$_1$

On the vanishing cohomology problem for cocycle actions of groups on II$_1$ factors

Sorin POPA
Sur le problème d'annulation en cohomologie pour les actions à cocycle de groupes sur les facteurs II$_1$
  • Consulter un extrait
  • Année : 2021
  • Fascicule : 2
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 46L10, 46L55
  • Pages : 407-443
  • DOI : 10.24033/asens.2461

On démontre que toute action libre à cocycle d'un groupe dénombrable moyennable sur un facteur II$_1$ peut être perturbée par des automorphismes intérieurs de telle manière qu'elle devienne une \og vraie\fg{} action. En plus de contenir tous les groupes moyennables, la classe des groupes qui satisfont cette propriété d'annulation en cohomologie, qu'on appelle $\mathcal{VC}$, est stable par produit libre amalgamé au-dessus d'un groupe fini.
Il n'y a pas d'autres exemples connus de groupes $\mathcal{VC}$, mais en utilisant certaines actions à cocycle $\Gamma \curvearrowright N$ dans le cas où $N$ est le facteur hyperfini $R$, respectivement $N$ est le facteur du groupe libre $L(\Bbb F_\infty)$, on montre que beaucoup de groupes $\Gamma$ ne sont pas $\mathcal{VC}$. On montre aussi que toute action libre $\Gamma \curvearrowright R$ engendre une action libre à cocycle de $\Gamma$ sur le facteur II$_1$ $R'\cap R^\omega$ dont l'annulation en cohomologie est équivalente à la propriété de plongement approximatif de Connes pour $N\rtimes \Gamma$, i.e. $R\rtimes \Gamma  R^\omega$.

 

We prove that any free cocycle action of a countable amenable group $\Gamma$ on  any II$_1$ factor $N$ can be perturbed by inner automorphisms to a genuine action. Besides being satisfied by all amenable groups, this universal {\it vanishing cohomology} property, that we call $\mathcal{VC}$, is also closed to free products with amalgamation over finite groups. While no other examples of $\mathcal{VC}$-groups are known, by considering special cocycle actions $\Gamma \curvearrowright N$ in the case $N$ is the hyperfinite II$_1$ factor $R$, respectively the free group factor $N=L(\Bbb F_\infty)$, we  exclude many groups from being $\mathcal{VC}$.
We also show that any free action $\Gamma \curvearrowright R$ gives rise to a free cocycle $\Gamma$-action on the II$_1$ factor $R'\cap R^\omega$ whose vanishing cohomology is equivalent to Connes' Approximate Embedding property for the II$_1$ factor $R\rtimes \Gamma$.

facteurs II$_1$, groupes moyennables, actions à cocycle, annulation de cohomologie
II$_1$factors, amenable groups, cocycle actions, vanishing cohomology
Prix Électronique
Adhérent 14 €
Non-Adhérent 20 €
Quantité
- +