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Revisiter le complexe de de Rham-Witt

Revisiting the de Rham-Witt complex

Bhargav BHATT, Jacob LURIE, Akhil MATHEW
Revisiter le complexe de de Rham-Witt
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  • Année : 2021
  • Tome : 424
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14F30, 14F40, 14G17, 11G25
  • Nb. de pages : 165
  • ISBN : 978-2-85629-937-1
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1146

Le but cet article est de présenter une nouvelle construction du complexe de Rham-Witt d’une variété lisse sur un corps parfait de caractéristique p > 0. Nous introduisons une catégorie de complexes de cochaînes munis d’un endomorphisme F des groupes abéliens gradués sous-jacents satisfaisant $dF = pFd$, catégorie dont nous étudions en détail l’algèbre homologique. À partir d’un objet de cette catégorie satisfaisant un analogue abstrait de l’isomorphisme de Cartier, un procédé homologique élémentaire associe une généralisation de la construction de de Rham-Witt. On peut interpréter abstraitement cette algèbre homologique comme un calcul des points fixes de l’opérateur de Berthelot-Ogus $L \eta_p$ sur la catégorie dérivée p-complète. Nous donnons diverses applications de cette approche, notamment une simplification du théorème de comparaison cristallin de la théorie de cohomologie $A \Omega$ introduite dans un article de B. Bhatt, M. Morrow et P. Scholze.

The goal of this paper is to offer a new construction of the de Rham-Witt complex of a smooth variety over a perfect field of characteristic $p > 0$.We introduce a category of cochain complexes which are equipped with an endomorphism $F$ of underlying graded abelian groups satisfying $dF = pFd$, whose homological algebra we study in detail. To any such object satisfying an abstract analog of the Cartier isomorphism, an elementary homological process  associates a generalization of the de Rham-Witt construction. Abstractly, the homological algebra can be viewed as a calculation of the fixed points of the Berthelot-Ogus operator $L \eta_p$ on the $p$-complete derived category. We give various applications of this approach, including a simplification of the crystalline comparison for the $A \Omega$-cohomology theory introduced in  a paper written by B. Bhatt, M. Morrow and P. Scholze

Complexe de de Rham-Witt, cohomologie cristalline, vecteur de Witt
De Rham-Witt complex, crystalline cohomology, Witt vector
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