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Normes en théorie de l'homotopie motivique

Norms in motivic homotopy theory

Tom BACHMANN, Marc HOYOIS
Normes en théorie de l'homotopie motivique
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  • Année : 2021
  • Tome : 425
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14F42, 19E15
  • Nb. de pages : 208
  • ISBN : 978-2-85629-939-5
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1147

Pour $f : S' \to S$ un morphisme de schémas fini et localement libre, on construit un foncteur \og norme\fg{} monoïdal symétrique $f_\otimes : \mathcal{H}_{\bullet}(S')\to \mathcal{H}_{\bullet}(S)$ est la catégorie homotopique motivique pointée sur $S$. Si $f$ est un revêtement étale, on montre qu'il se prolonge en un foncteur $f_\otimes : \mathcal{S}\mathcal{H}(S') \to \mathcal{S}\mathcal{H}(S)$, où $\mathcal{S}\mathcal{H}(S)$ est la catégorie homotopique motivique $\mathbb{P}^1$-stable sur $S$. À l'aide de ces foncteurs norme, on définit la notion de spectre motivique normé, qui améliore celle de spectre motivique en anneaux $E_\infty$. L'objet principal de ce texte est une étude détaillée des foncteurs norme et des spectres motiviques normés, ainsi que la construction de nombreux exemples. En particulier : on étudie la compatibilité des normes avec la théorie de Galois de Grothendieck, avec la réalisation de Betti, et avec la filtration par motifs de Voevodsky ; on montre que les foncteurs norme sont une catégorification des transferts multiplicatifs de Rost entre anneaux de Grothendieck-Witt ; et on construit des structures de spectre normé sur le spectre de la cohomologie motivique $H\mathbb{Z}$, le spectre de la $K$-theory algébrique $KGL$, et le spectre du cobordisme algébrique $MGL$. La structure de spectre normé sur $H\mathbb{Z}$ est la source commune des transferts multiplicatifs entre anneaux de Chow définis par Fulton et MacPherson et des opérations de Steenrod en cohomologie motivique définies par Voevodsky.

If $f : S' \to S$ is a finite locally free morphism of schemes, we construct a symmetric monoidal "norm" functor $f_\otimes : \mathcal{H}_{\bullet}(S')\to \mathcal{H}_{\bullet}(S)$, where $\mathcal{H}_\bullet(S)$ is the pointed unstable motivic homotopy category over $S$. If $f$ is finite étale, we show that it stabilizes to a functor $f_\otimes : \mathcal{S}\mathcal{H}(S') \to \mathcal{S}\mathcal{H}(S)$, where $\mathcal{S}\mathcal{H}(S)$ is the $\mathbb{P}^1$-stable motivic homotopy category over $S$. Using these norm functors, we define the notion of a  normed motivic spectrum, which is an enhancement of a motivic $E_\infty$-ring spectrum. The main content of this text is a detailed study of the norm functors and of normed motivic spectra, and the construction of examples. In particular: we investigate the interaction of norms with Grothendieck's Galois theory, with Betti realization, and with Voevodsky's slice filtration; we prove that the norm functors categorify Rost's multiplicative transfers on Grothendieck-Witt rings; and we construct normed spectrum structures on the motivic cohomology spectrum $H\mathbb{Z}$, the homotopy $K$-theory spectrum $KGL$, and the algebraic cobordism spectrum $MGL$. The normed spectrum structure on $H\mathbb{Z}$ is a common refinement of Fulton and MacPherson's mutliplicative transfers on Chow groups and of Voevodsky's power operations in motivic cohomology.

Théorie de l'homotopie motivique, spectres en anneaux hautement structurés, normes, transferts multiplicatifs
Motivic homotopy theory, highly structured ring spectra, norms, multiplicative transfers
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