SMF

Homologie de Shih d'une submersion

Shih homology of a submersion

F. LALONDE
Homologie de Shih d'une submersion
     
                
  • Année : 1987
  • Tome : 30
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Nb. de pages : 101
  • ISBN : 2-04-012424-1
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.331

Soit $f : X_{2} \rightarrow X_{1}$ une application différentiable d'une variété lisse dans une autre. L'homologie sectionnelle (ou homologie de Shih) de $f$ est l'homologie des chaînes finies de simplexes sectionnels à coefficients entiers, un simplexe sectionnel étant une section locale de $f$ au-dessus d'un simplexe plongé. On montre que si $f$ est une submersion, cette homologie est canoniquement isomorphe à l'homologie singulière de $X_{2}$ en toutes dimensions inférieures à $n = {\rm dim} X_{1}$. Cela signifie que dans une variété $V$ munie d'un feuillage $\frak {F}$ régulier, les $q$-chaînes singulières de $V$ sont représentables par les $q$-chaînes de simplexes plongés transverses aux feuilles, quel que soit $q \leq {\rm codim} \frak {F}$. Ce résultat est généralisé aux homologies de $p$-champs transverses : les $q$-chaînes singulières de $V$ sont représentables par les $q$-chaînes de simplexes de la forme $(\lambda , \varphi )$, où $\lambda $ est un simplexe plongé de $V$ et $\varphi $ un $p$-champ transverse à $\lambda $ vérifiant en tout point $X \in \Delta _{q}$ : le $(q+p)$-plan $[T_{X} \lambda , \varphi (X)]$ est transverse aux feuilles $(q+p \leq {\rm codim} \frak {F})$. Ces deux résultats sont liés : on se sert de l'homologie des champs transverses dans la démonstration de l'invariance par subdivision de l'homologie sectionnelle d'une submersion.

Let $f : X_{2} \rightarrow X_{1}$ be a differentiable map between two smooth manifolds. The sectional homology (or Shih homology) of $f$ is the homology of finite chains of sectional simplices with integer cofficients, where sectional simplex means a local section of $f$ over an imbedded simplex. We show that whenever $f$ is a submersion, this homology is canonically isomorphic to the singular homology of $X_{2}$ for all dimensions $n = {\rm dim} X_{1}$. It has the following meaning: in a manifold endowed with aregular foliation $\frak {F}$, the singular $q$-chains of $V$ are represented by the $q$-chains of simplices embedded transversely to the leaves for any $q \leq {\rm codim} \frak {F}$. This result is generalized to transverse $p$-fields homologies: the singular $q$-chains of $V$ are representable by $q$-chains of simplices of the form $(\lambda , \varphi )$, where $\lambda$ is an embedded simplex of $V$ and $\varphi$ a $p$-field transverse to $\lambda$ and such that for any point $x \in \Delta _{q}$ : the $(q+p)$-plane $[T_{x} \lambda , \varphi (x)]$ is transverse to the leaves $(q+p \leq {\rm codim} \frak {F})$. Both results are related: homology of transverse fields is used in the proof of the invariance of the sectional homology of a submersion under subdivision.


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