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Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple

The index of the normaliser of the centraliser of a nilpotent element in a semisimple Lie algebra

Anne Moreau
Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple
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  • Année : 2006
  • Fascicule : 1
  • Tome : 134
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22-04, 22E46, 22E60, 17B10, 17B20
  • Pages : 83-117
  • DOI : 10.24033/bsmf.2502
L'indice d'une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $\g $ est semi-simple, son indice, $\ind \g $, est égal à son rang, $\rg \g $. Le but de cet article est d'établir une formule générale pour l'indice de $\n (\g ^{e})$ pour $e$ nilpotent, où $\n (\g ^{e})$ est le normalisateur dans $\g $ du centralisateur $\g ^{e}$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev : $ \ind \n (\g ^{e}) = \rg \g -\dim \z (\g ^{e}), $ où $\z (\g ^{e})$ est le centre de $\g ^{e}$. Panyushev obtient l'inégalité $\ind \n (\g ^{e}) \geq \rg \g -\dim \z (\g ^{e})$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d'une certaine matrice à coefficients dans l'algèbre symétrique ${\mathcal S}(\g ^{e})$ implique l'autre inégalité. L'article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.
The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose $\g $ semisimple, then its index, $\ind \g $, is equal to its rank, ${\rm rk}~\g $. The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of $\n (\g ^{e})$, for $e$ nilpotent, where $\n (\g ^{e})$ is the normaliser in $\g $ of the centraliser $\g ^{e}$ of $e$. More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev Panyushev (2003) : $ \ind \n (\g ^{e}) = {\rm rk}~\g -\dim \z (\g ^{e}), $ where $\z (\g ^{e})$ is the centre of $\g ^{e}$. Panyushev (2003) obtained the inequality $\ind \n (\g ^{e}) \geq \rg \g -\dim \z (\g ^{e})$ and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra ${\mathcal S}(\g ^{e})$ implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix.
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