Intervalles d'instabilité pour une équation de Hill à potentiel méromorphe

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Le spectre d'un opérateur de Schrödinger périodique −Δ+V en dimension 1 est constitué de bandes qui ne peuvent se recouvrir qu'en leurs extrémités. On appelle gaps ou intervalles d'instabilité les intervalles qui séparent ces bandes. Nous supposons ici que le potentiel V est réel-analytique et s'étend dans une bande du plan complexe en une fonction méromorphe à pôles simples. En utilisant la méthode WKB complexe exacte puis des techniques d'analyse microlocale semi- ique, nous obtenons le développement asymptotique pour n grand de la largeur du n-ième gap. Notre résultat montre en particulier qu'il y a une infinité de gaps ouverts pour ce type de potentiels.