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Invariance de la conjecture de parité des $p$-groupes de Selmer de courbes elliptiques dans une $D_{2p^{n}}$-extension

Invariance of the parity conjecture for $p$-Selmer groups of elliptic curves in a $D_{2p^{n}}$-extension

Thomas de La Rochefoucauld
Invariance de la conjecture de parité des $p$-groupes de Selmer de courbes elliptiques dans une $D_{2p^{n}}$-extension
  • Année : 2011
  • Fascicule : 4
  • Tome : 139
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G05, 11G07, 11G40
  • Pages : 571-592
  • DOI : 10.24033/bsmf.2620
On démontre un résultat de $p$-parité, dans une extension galoisienne de corps de nombre de groupe $D_{2p^{n}}$, pour le twist $1\oplus \eta \oplus \tau $ : $W(E/K,1\oplus \eta \oplus \tau )=(-1)^{\left \langle 1\oplus \eta \oplus \tau ,X_{p}(E/L)\right \rangle }$, où $E$ est une courbe elliptique définie sur $K$, $\eta $ et $\tau $ sont respectivement le caractère quadratique et une représentation irréductible de degré 2 de $\mathrm {Gal}(L/K)=D_{2p^{n}}$, et $X_{p}(E/L)$ est le $p$-groupe de Selmer. La principale nouveauté est le fait que l'on utilise un résultat de congruence (dû à Deligne) pour déterminer les « root numbers » locaux dans les mauvais cas (les places additives au-dessus de 2 et 3). On donne aussi, en utilisant la machinerie des frères Dokchitser, deux applications à la conjecture de $p$-parité.
We show a $p$-parity result in a $D_{2p^{n}}$-extension of number fields $L/K$ ($p\geq 5$) for the twist $1\oplus \eta \oplus \tau $ : $W(E/K,1\oplus \eta \oplus \tau )=(-1)^{\left \langle 1\oplus \eta \oplus \tau ,X_{p}(E/L)\right \rangle }$, where $E$ is an elliptic curve over $K$, $\eta $ and $\tau $ are respectively the quadratic character and an irreductible representation of degree $2$ of $\mathrm {Gal}(L/K)=D_{2p^{n}}$, and $X_{p}(E/L)$ is the $p$-Selmer group. The main novelty is that we use a congruence result between $ \varepsilon _{0}$-factors (due to Deligne) for the determination of local root numbers in bad cases (places of additive reduction above 2 and 3). We also give applications to the $p$-parity conjecture (using the machinery of the Dokchitser brothers).
Courbes elliptiques, conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, conjecture de parité, facteurs epsilon
Elliptic curves, Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, parity conjecture, regulator constants, epsilon factors, root numbers
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