Considérons une équation de Klein-Gordon non-linéaire sur le cercle unité, à données régulières de taille $\epsilon \to 0$. Appelons solution presque globale toute solution $u$, qui se prolonge pour tout $\kappa \in \mathbb {N} $ sur un intervalle de temps $]-c_\kappa \epsilon ^{-\kappa },c_\kappa \epsilon ^{-\kappa }[$, pour un certain $c_\kappa >0$ et $0<\epsilon <\epsilon _\kappa $. Il est connu que de telles solutions existent, et restent uniformément bornées dans des espaces de Sobolev d'ordre élevé, lorsque la non-linéarité de l'équation est un polynôme en $u$ nul à l'ordre 2 à l'origine, et lorsque le paramètre de masse de l'équation reste en dehors d'un sous-ensemble de mesure nulle de $\mathbb {R} _+^*$. Le but de cet article est d'étendre ce résultat à des non-linéarités quasi-linéaires Hamiltoniennes générales. Il s'agit en effet des seules non-linéarités Hamiltoniennes qui puissent dépendre non seulement de $u$, mais aussi de sa dérivée en espace. Nous devons, pour obtenir le théorème principal, développer une méthode de formes normales de Birkhoff pour des équations quasi-linéaires.