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Une méthode de formes normales de Birkhoff quasi-linéaire. Application à l'équation quasi-linéaire de Klein-Gordon sur $\mathbb {S}^1$

A quasi-linear Birkhoff normal forms method. Application to the quasi-linear Klein-Gordon equation on $\mathbb {S}^1$

J.-M. Delort
  • Année : 2012
  • Tome : 341
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35L70, 35B45, 37K05, 35S50
  • Nb. de pages : v+115
  • ISBN : 978-2-85629-335-5
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.909
Considérons une équation de Klein-Gordon non-linéaire sur le cercle unité, à données régulières de taille $\epsilon \to 0$. Appelons solution presque globale toute solution $u$, qui se prolonge pour tout $\kappa \in \mathbb {N} $ sur un intervalle de temps $]-c_\kappa \epsilon ^{-\kappa },c_\kappa \epsilon ^{-\kappa }[$, pour un certain $c_\kappa >0$ et $0<\epsilon <\epsilon _\kappa $. Il est connu que de telles solutions existent, et restent uniformément bornées dans des espaces de Sobolev d'ordre élevé, lorsque la non-linéarité de l'équation est un polynôme en $u$ nul à l'ordre 2 à l'origine, et lorsque le paramètre de masse de l'équation reste en dehors d'un sous-ensemble de mesure nulle de $\mathbb {R} _+^*$. Le but de cet article est d'étendre ce résultat à des non-linéarités quasi-linéaires Hamiltoniennes générales. Il s'agit en effet des seules non-linéarités Hamiltoniennes qui puissent dépendre non seulement de $u$, mais aussi de sa dérivée en espace. Nous devons, pour obtenir le théorème principal, développer une méthode de formes normales de Birkhoff pour des équations quasi-linéaires.
Consider a nonlinear Klein-Gordon equation on the unit circle, with smooth data of size $\epsilon \to 0$. A solution $u$ which, for any $\kappa \in \mathbb {N} $, may be extended as a smooth solution on a time-interval $]-c_\kappa \epsilon ^{-\kappa },c_\kappa \epsilon ^{-\kappa }[$ for some $c_\kappa >0$ and for $0<\epsilon <\epsilon _\kappa $, is called an almost global solution. It is known that when the nonlinearity is a polynomial depending only on $u$, and vanishing at order at least $2$ at the origin, any smooth small Cauchy data generate, as soon as the mass parameter in the equation stays outside a subset of zero measure of $\mathbb {R} _+^*$, an almost global solution, whose Sobolev norms of higher order stay uniformly bounded. The goal of this paper is to extend this result to general Hamiltonian quasi-linear nonlinearities. These are the only Hamiltonian non linearities that depend not only on $u$, but also on its space derivative. To prove the main theorem, we develop a Birkhoff normal form method for quasi-linear equations.
Formes normales de Birkhoff, équations hamiltoniennes quasi-linéaires, existence presque globale, équation de Klein-Gordon
Birkhoff normal forms, quasi-linear Hamiltonian equations, almost global existence, Klein-Gordon equation
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