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Invariants, indices de torsion et cohomologie orientée des variétés de drapeaux complets

Invariants, torsion indices and oriented cohomology of complete flags

Baptiste Calmès, Viktor Petrov, Kirill Zainoulline
Invariants, indices de torsion et cohomologie orientée des variétés de drapeaux complets
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  • Année : 2013
  • Tome : 46
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14F43, 14L05, 14M15, 19L41, 20G10
  • Pages : 405-448
  • DOI : 10.24033/asens.2192
Soit $G$ un groupe algébrique linéaire semi-simple déployé sur un corps et soit $T$ un tore maximal déployé de $G$. Étant donnée une cohomologie orientée $\operatorname {HH} $ (anneau de Chow, $K_0$ de Grothendieck, $K$-théorie connective, etc.) et sa loi de groupe formel $F$, nous construisons un anneau appelé anneau de groupe formel, associé à $F$ et aux caractères de $T$, puis un homomorphisme caractéristique $c$ de cet anneau de groupe formel vers l'anneau $\operatorname {HH} (G/B)$ où $G/B$ est la variété des sous-groupes de Borel de $G$. Le résultat principal de cet article montre que, lorsque l'indice de torsion du groupe $G$ est inversé, $c$ est surjectif et son noyau est engendré par des éléments invariants sous l'action du groupe de Weyl de $G$. En guise d'application, nous fournissons un algorithme qui permet de calculer la structure d'anneau de $\operatorname {HH} (G/B)$ et d'y calculer les es de variétés de Schubert désingularisées et leur produits.
Let $G$ be a split semisimple linear algebraic group over a field and let $T$ be a split maximal torus of $G$. Let $\operatorname {HH} $ be an oriented cohomology (algebraic cobordism, connective $K$-theory, Chow groups, Grothendieck's $K_0$, etc.) with formal group law $F$. We construct a ring from $F$ and the characters of $T$, that we call a formal group ring, and we define a characteristic ring morphism $c$ from this formal group ring to $\operatorname {HH} (G/B)$ where $G/B$ is the variety of Borel subgroups of $G$. Our main result says that when the torsion index of $G$ is inverted, $c$ is surjective and its kernel is generated by elements invariant under the Weyl group of $G$. As an application, we provide an algorithm to compute the ring structure of $\operatorname {HH} (G/B)$ and to describe the es of desingularized Schubert varieties and their products.
Groupe algébrique linéaire, cohomologie orientée, loi de groupe formel.
linear algebraic group, oriented cohomology, formal group law.
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