Le théorème de Chevalley affirme que tout groupe algébrique lisse connexe sur un corps parfait est une extension d'une variété abélienne par un groupe affine lisse connexe. Cela n'est plus vrai lorsque le corps de base n'est pas parfait. Nous définissons une variété pseudo-abélienne sur un corps arbitraire $k$ en tant que $k$-groupe lisse connexe dans lequel tous les $k$-sous-groupes lisses connexes affines distingués sont triviaux. Cela donne un nouveau point de vue sur la ification des groupes algébriques : tout groupe lisse connexe sur un corps est une extension, faite de manière unique, d'une variété pseudo-abélienne par un groupe lisse connexe affine. Nous déterminons une grande partie de la structure des variétés pseudo-abéliennes. Ces groupes sont étroitement liés aux groupes unipotents en caractéristique $p$ et aux groupes pseudo-réductifs étudiés par Tits et Conrad-Gabber-Prasad. Plusieurs propriétés des variétés abéliennes (comme le théorème de Mordell-Weil) s'étendent aux variétés pseudo-abéliennes. Enfin, nous conjecturons une description de $\mathrm {Ext}^2(\mathbf {G}_a,\mathbf {G}_m)$ sur n'importe quel corps par générateurs et relations, dans l'esprit de la conjecture de Milnor.