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Fibrations lagrangiennes sur les variétés hyperkähleriennes – Sur une question de Beauville

Lagrangian fibrations on hyperkähler manifolds – On a question of Beauville

Daniel Greb, Christian Lehn, Sönke Rollenske
Fibrations lagrangiennes sur les variétés hyperkähleriennes – Sur une question de Beauville
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  • Année : 2013
  • Tome : 46
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53C26, 14D06, 14E30, 32G10, 32G05.
  • Pages : 375-403
  • DOI : 10.24033/asens.2191
Soit $X$ une variété hyperkählérienne compacte contenant un tore complexe $L$ en tant que sous-variété lagrangienne. A. Beauville a posé la question suivante : la variété $X$ admet-elle une fibration lagrangienne de fibre $L$ ? Nous démontrons que c' est le cas si $X$ n' est pas projective. Si $X$ est projective nous montrons l'existence d'une fibration lagrangienne presque holomorphe de fibre $L$ sous des hypothèses plus restrictives sur la paire $(X,L)$. Ces hypothèses peuvent se formuler de deux manières : en termes topologiques ou grâce à la théorie des déformations de $(X,L)$. Par ailleurs, nous démontrons que pour une telle fibration lagrangienne presque holomorphe il y a toujours un bon modèle minimal lisse, c' est-à-dire une variété hyperkählérienne birationelle à $X$ sur laquelle la fibration est holomorphe.
Let $X$ be a compact hyperkähler manifold containing a complex torus $L$ as a Lagrangian subvariety. Beauville posed the question whether $X$ admits a Lagrangian fibration with fibre $L$. We show that this is indeed the case if $X$ is not projective. If $X$ is projective we find an almost holomorphic Lagrangian fibration with fibre $L$ under additional assumptions on the pair $(X, L)$, which can be formulated in topological or deformation-theoretic terms. Moreover, we show that for any such almost holomorphic Lagrangian fibration there exists a smooth good minimal model, i.e., a hyperkähler manifold birational to $X$ on which the fibration is holomorphic.
Variété hyperkählérienne, fibration lagrangienne.
Hyperkähler manifold, Lagrangian fibration.
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