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Marches aléatoires sur des groupes fuchsiens co-compacts

Random Walks on Co-Compact Fuchsian Groups

Sébastien Gouëzel, Steven P. Lalley
Marches aléatoires sur des groupes fuchsiens co-compacts
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  • Année : 2013
  • Tome : 46
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 31C20; 31C25 60J50 60B99
  • Pages : 129-173
Considérons une marche aléatoire symétrique à support fini sur un groupe fuchsien co-compact. Nous montrons que la fonction de Green à son rayon de convergence $R$ décroît exponentiellement vite en fonction de la distance à l'origine. Nous montrons également que les inégalités d'Ancona s'étendent jusqu'au paramètre $R$, et par conséquent que la frontière de Martin pour les $R$-potentiels s'identifie avec la frontière géométrique $S^1$. De plus, le noyau de Martin correspondant est höldérien. Ces résultats sont utilisés pour démontrer un théorème limite local pour les probabilités de transition : dans le cas apériodique, $p^n(x,y)\sim C_{x,y}R^{-n}n^{-3/2}$.
It is proved that the Green's function of a symmetric finite range random walk on a co-compact Fuchsian group decays exponentially in distance at the radius of convergence $R$. It is also shown that Ancona's inequalities extend to $R$, and therefore that the Martin boundary for $R$-potentials coincides with the natural geometric boundary $S^{1}$, and that the Martin kernel is uniformly Hölder continuous. Finally, this implies a local limit theorem for the transition probabilities : in the aperiodic case, $p^n(x,y)\sim C_{x,y}R^{-n}n^{-3/2}$.
Groupe hyperbolique, groupe de surface, marche aléatoire, fonction de Green, frontière de Gromov, frontière de Martin, opérateur de Ruelle, états de Gibbs, théorème limite local.
Hyperbolic group, surface group, random walk, Green's function, Gromov boundary, Martin boundary, Ruelle operator theorem, Gibbs state, local limit theorem.
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