Considérons une marche aléatoire symétrique à support fini sur un groupe fuchsien co-compact. Nous montrons que la fonction de Green à son rayon de convergence $R$ décroît exponentiellement vite en fonction de la distance à l'origine. Nous montrons également que les inégalités d'Ancona s'étendent jusqu'au paramètre $R$, et par conséquent que la frontière de Martin pour les $R$-potentiels s'identifie avec la frontière géométrique $S^1$. De plus, le noyau de Martin correspondant est höldérien. Ces résultats sont utilisés pour démontrer un théorème limite local pour les probabilités de transition : dans le cas apériodique, $p^n(x,y)\sim C_{x,y}R^{-n}n^{-3/2}$.