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Métriques de Hofer et profondeur de bord

Hofer's metrics and boundary depth

Michael Usher
Métriques de Hofer et profondeur de bord
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  • Année : 2013
  • Tome : 46
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53D22, 53D40
  • Pages : 57-128
Nous montrons que si $(M,\omega )$ est une variété symplectique fermée qui admet un champ vectoriel hamiltonien non-trivial dont toutes les orbites fermées contractiles sont constantes, la métrique de Hofer sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens de $(M,\omega )$ a alors un diamètre infini et admet donc des espaces vectoriels normés plongés quasi-isométriquement et de dimension infinie. Une conclusion semblable s'applique à la métrique de Hofer sur différents espaces de sous-variétés lagrangiennes, y compris les sous-variétés hamiltoniennes isotopiques à la diagonale en $M\times M$ où $M$ satisfait à la condition dynamique ci-dessus. Pour prouver cela, nous utilisons les propriétés d'une quantité Floer-théorique appelée profondeur de bord, qui mesure la non-trivialité de l'opérateur limite sur le complexe de Floer de manière à encoder des informations robustes de topologie symplectique.
We show that if $(M,\omega )$ is a closed symplectic manifold which admits a nontrivial Hamiltonian vector field all of whose contractible closed orbits are constant, then Hofer's metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of $(M,\omega )$ has infinite diameter, and indeed admits infinite-dimensional quasi-isometrically embedded normed vector spaces. A similar conclusion applies to Hofer's metric on various spaces of Lagrangian submanifolds, including those Hamiltonian-isotopic to the diagonal in $M\times M$ when $M$ satisfies the above dynamical condition. To prove this, we use the properties of a Floer-theoretic quantity called the boundary depth, which measures the nontriviality of the boundary operator on the Floer complex in a way that encodes robust symplectic-topological information.
Métrique de Hofer, difféomorphisme hamiltonien, sous-variété lagrangienne, complexe de Floer
Hofer metric, Hamiltonian diffeomorphism, Lagrangian submanifold, Floer complex
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