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Joint et tranches pour les $\infty$-catégories strictes

Join and slices for strict $\infty$-categories

Dimitri ARA, Georges MALTSINIOTIS
Joint et tranches pour les $\infty$-catégories strictes
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  • Année : 2020
  • Tome : 165
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 18A25, 18D05, 18D20, 18G30, 18G35, 18G55, 55U10, 55U15
  • Nb. de pages : vi+213
  • ISBN : 978-2-85629-921-0
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.473

Le but de cet ouvrage est de développer une théorie du joint et des tranches pour les $\infty$-catégories strictes. À deux $\infty$-catégories strictes, on en associe une troisième qu'on appelle leur joint. Cette opération est compatible au joint usuel des catégories à troncation près. On montre que le joint définit une structure de catégorie monoïdale sur la catégorie des $\infty$-catégories strictes et qu'il commute aux limites inductives connexes en chaque variable. En particulier, on obtient l'existence de certains adjoints à droite ; ces adjoints définissent des tranches $\infty$-catégoriques, en un sens généralisé. On énonce des conjectures de fonctorialité du joint et des tranches par rapport aux transformations lax et oplax supérieures et on démontre des premiers résultats dans ce sens. Ces résultats sont utilisés dans un autre travail pour établir un théorème~A de Quillen $\infty$-catégorique. Enfin, dans un appendice, on revisite le produit tensoriel de Gray $\infty$-catégorique. Un des principaux outils utilisés dans ce travail est la théorie des complexes dirigés augmentés de Steiner.

The goal of this book is to develop a theory of join and slices for strict $\infty$-categories. To any pair of strict $\infty$-categories, we associate a third one that we call their join. This operation is compatible with the usual join of categories up to truncation. We show that the join defines a monoidal category structure on the category of strict $\infty$-categories and that it respects connected inductive limits in each variable. In particular, we obtain the existence of some right adjoints; these adjoints define $\infty$-categorical slices, in a generalized sense. We state some conjectures about the functoriality of the join and the slices with respect to higher lax and oplax transformations and we prove some first
results in this direction. These results are used in another paper to establish a Quillen Theorem A for strict $\infty$-categories. Finally, in an appendix, we revisit the Gray tensor product of strict $\infty$-categories. One of the main tools used in this paper is Steiner's theory of augmented directed complexes. 

$ \infty$-catégories de Gray, $ \infty$-catégories strictes, catégories monoïdales, catégories monoïdales localement bifermées, complexes dirigés augmentés, joint, nerf de Street, orientaux, produit tensoriel de Gray, tranches, transformations lax
Gray $ \infty$-categories, strict $ \infty$-categories, monoidal categories, locally biclosed monoidal categories, augmented directed complexes, join, Street’s nerve, orientals, Gray tensor product, slices, lax transformations
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