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La formule de Poisson-Plancherel pour un groupe presque algébrique à radical abélien : cas ou le stabilisateur générique est réductif

Poisson-Plancherel formula for quasi-algebraic groups with abelian nilradical: the case of reductive generic stabilizer

P. TORASSO
La formule de Poisson-Plancherel pour un groupe presque algébrique à radical abélien : cas ou le stabilisateur générique est réductif
     
                
  • Année : 1990
  • Tome : 41-42
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Nb. de pages : 185
  • ISBN : 2-85629-010-8
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.348

La formule de Poisson-Plancherel, conjecturée par M. Vergne et dont nous donnons une forme plus précise dans l'introduction, détermine la mesure de Plancherel d'un groupe de Lie au voisinage de l'élément neutre. Nous établissons cette conjecture dans le cas précisé par le titre de cet article. Cela nous amène à introduire et étudier des intégrales orbitales, non pas seulement sur l'algèbre de Lie comme dans le cas réductif, mais aussi et surtout sur le dual de celle-ci. Cette étude se fait d'une part en montrant l'existence d'une e particulière de polynômes invariants sous l'action co-adjointe et d'autre part en établissant un résultat d'estimation a priori de type $L^1$ pour des fonctions $C^\infty $ dans une chambre de Weyl d'un sous-système de racines. De plus les propriétés de ces intégrales orbitales sont moins plaisantes que dans le cas réductif, si bien que nous devons établir la formule sommatoire de Poisson pour une e de fonction de plusieurs variables présentant des singularités importantes.

The Poisson-Plancherel formula which gives the Pancherel measure of a Lie group near its neutral element, was conjectured by M. Vergne. We give a more precise statement of this conjecture in the introduction of this paper and then prove it in the case announced in the title. In order to do that, we introduce and study orbital integrals, not only on the Lie algebra itself (this was sufficient in the reductive case) but also on the dual space of the Lie algebra. To study these orbital integrals, we prove first the existence of a of polynomials which are invariant under the coadjoint action, and second a $L^1$-type a priori estimates for functions which are $C^\infty $ on a Weyl chamber for a root subsystem. The properties of these orbital integrals being not so simple as in the reductive case, we need and prove the Poisson's summation formula for a of functions with great singularities.


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