Dans cet article, nous présentons une méthode algorithmique pour le calcul de la paire de Lax de la hiérarchie de Korteweg-de Vries modifiée. Pour tout $n$, la condition de compatibilité fournit le $n$ième membre de la hiérarchie lui-même et non pas sa dérivée. Grâce à une réduction par l'action du groupe de similarité, nous en déduisons un problème d'isomonodromie pour la deuxième hiérarchie de Painlevé.