Les hamiltoniens, indépendants du temps, de la forme $H = (P_1^2+P_2^2)/2+V(Q_1,Q_2)$ satisfont au test de Painlevé pour seulement sept potentiels $V$ ; ceux-ci sont connus sous le nom de hamiltoniens de Hénon-Heiles et ils dépendent d'un nombre fini de constantes libres. La propriété de Painlevé restait à établir pour des valeurs génériques des constantes libres. Nous traitons chacun des cas en suspens en construisant une transformation birationnelle vers une équation différentielle ordinaire d'ordre quatre qui figure dans la liste exhaustive (Cosgrove, 2000) de telles équations polynomiales possédant la propriété de Painlevé. Les propriétés communes à ces hamiltoniens sont :

1. la solution générale est méromorphe et peut être exprimée en termes de fonctions hyperelliptiques de genre deux,
2. le hamiltonien est complet au sens où l'addition de tout terme indépendant du temps ferait perdre la propriété de Painlevé.