On peut exprimer les solutions rationnelles des équations P$_{\rm II}$, P$_{\rm III}$ et P$_{\rm IV}$ en fonction des dérivées logarithmiques de polynômes spéciaux définis par des équations différences-différentielles bilinéaires d'ordre deux couplées et équivalentes à l'équation de Toda. Dans cet article nous étudions la configuration des racines de ces polynômes spéciaux et des polynômes spéciaux associés aux solutions algébriques des équations de Painlevé P$_{\rm III}$ et P$_{\rm V}$. Nous mettons en évidence une structure étonnante, fortement symétrique et régulière. En outre, appliquant la théorie hamiltonienne à P$_{\rm II}$, P$_{\rm III}$ et P$_{\rm IV}$, nous montrons que tous ces polynômes spéciaux, définis par des équations différences-différentielles, satisfont aussi à des équations différentielles ordinaires bilinéaires d'ordre 4.