SMF

Le noyau de la chaleur avec condition de Neumann ou de Dirichlet dans les domaines intérieurement uniformes

Neumann and Dirichlet Heat Kernels in Inner Uniform Domains

Pavel Gyrya, Laurent Saloff-Coste
  • Année : 2011
  • Tome : 336
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 31C256, 35K20, 58J35, 60J60; 31C12 58J65, 60J45
  • Nb. de pages : vii+145
  • ISBN : 978-2-85629-306-5
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.899
Ce texte traite de l'étude du noyau de la chaleur avec condition de Neumann ou condition de Dirichlet au bord dans les domaines euclidiens non-bornés, mais aussi les domaines non-bornés dans les variétés riemanniennes et, plus généralement, les domaines non-bornés de certain espaces de Dirichlet réguliers locaux. Les travaux de A. Grigor'yan, L. Saloff-Coste et K-T. Sturm, ont montré l'équivalence, dans un large contexte, des propriétés suivantes :
  • l'inégalité de Harnack parabolique,
  • les estimations gaussiennes du noyau de la chaleur,
  • l'inégalité de Poincaré et la propriété de doublement du volume.
Nous utilisons ce résultat pour obtenir des estimations précises du noyau de la chaleur pour une large e de domaines définis en termes de leur distance intrinséque et appelés domaines intérieurement (ou intrinséquement) uniformes. De façon peut être surprenante, nous traitons le problème avec la condition de Neumann au bord et celui avec la condition de Dirichlet au bord par la même approche, mais avec l'aide supplémentaire d'une transformation de Doob dans le cas de la condition de Dirichlet. Les résultats principaux que nous obtenons sont nouveaux même dans le cas des domaines euclidiens a bord régulier où ils capturent l'effet de la condition d'uniformité intérieure comme, par exemple, dans le cas des domaines qui sont le complement d'un convexe fermé de $\mathbb R^n$.
This monograph focuses on the heat equation with either the Neumann or the Dirichlet boundary condition in unbounded domains in Euclidean space, Riemannian manifolds, and in the more general context of certain regular local Dirichlet spaces. In works by A. Grigor'yan, L. Saloff-Coste and K-T. Sturm, the equivalence between
  • the parabolic Harnack inequality,
  • the two-sided Gaussian heat kernel estimate,
  • the Poincaré inequality and the volume doubling property,
is established in a very general context. We use this result to provide precise two-sided heat kernel estimates in a large of domains described in terms of their inner intrinsic metric and called inner (or intrinsically) uniform domains. Perhaps surprisingly, we treat both the Neumann boundary condition and the Dirichlet boundary condition using essentially the same approach albeit with the additional help of a Doob's h-transform in the case of Dirichlet boundary condition. The main results are new even when applied to Euclidean domains with smooth boundary where they capture the global effect of the condition of inner uniformity as, for instance, in the case of domains that are the complement of a convex set in Euclidean space.
Noyau de chaleur, condition aux limites de Dirichlet, domaines intérieurs uniformes, espaces de Dirichlet, inégalités de Harnack
Heat kernel, Dirichlet boundary condition, inner uniform domains, Dirichlet spaces, Harnack inequalities
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