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Les propriétés multiplicatives de la filtration par les tranches

Multiplicative Properties of the Slice Filtration

Pablo PELAEZ
Les propriétés multiplicatives de la filtration par les tranches
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  • Année : 2011
  • Tome : 335
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14F42, 18D10, 18G40, 18G55
  • Nb. de pages : xvi+291
  • ISBN : 978-2-85629-305-8
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.900

Soit $S$ un schéma noethérien séparé de dimension de Krull finie, et $\mathcal {SH}(S)$ la catégorie homotopique stable de Morel-Voevodsky. Afin d'obtenir un analogue motivique de la tour de Postnikov, Voevodsky définit la filtration par les tranches dans $\mathcal {SH}(S)$ considérant les smash-produits itérées de le groupe multiplicatif $\mathbb G_{m}$. Nous montrons que la filtration par les tranches est compatible avec le smash-produit dans la catégorie de Jardine $\mathrm {Spt}_{T}^{\Sigma }\mathcal {M}_{\ast }$ des $T$-spectres symétriques motiviques. Cette compatibilité a plusieurs conséquences intéressantes. D'entre eux, sur un corps parfait tous les tranches $s_{q}$ sont canoniquement modules dans $\mathrm {Spt}_{T}^{\Sigma }\mathcal {M}_{\ast }$ sur le spectre motivique d'Eilenberg-MacLane $H\mathbb Z$, et si le corps est de charactéristique zéro les tranches $s_{q}$ sont motifs grands au sens de Voevodsky, ce utilise les résultats de Levine, Röndigs-Østvær et Voevodsky. Nous montrons aussi que le smash-produit dans $\mathrm {Spt}_{T}^{\Sigma }\mathcal {M}_{\ast }$ induit des structures multiplicatives sur la suite spectrale motivique de Atiyah-Hirzebruch.

Let $S$ be a Noetherian separated scheme of finite Krull dimension, and $\mathcal {SH}(S)$ be the motivic stable homotopy category of Morel-Voevodsky. In order to get a motivic analogue of the Postnikov tower, Voevodsky constructs the slice filtration by filtering $\mathcal {SH}(S)$ with respect to the smash powers of the multiplicative group $\mathbb G_{m}$. We show that the slice filtration is compatible with the smash product in Jardine's category $\mathrm {Spt}_{T}^{\Sigma }\mathcal {M}_{\ast }$ of motivic symmetric $T$-spectra, and describe several interesting consequences that follow from this compatibility. Among them, we have that over a perfect field all the slices $s_{q}$ are in a canonical way modules in $\mathrm {Spt}_{T}^{\Sigma }\mathcal {M}_{\ast }$ over the motivic Eilenberg-MacLane spectrum $H\mathbb Z$, and if the field has characteristic zero it follows that the slices $s_{q}$ are big motives in the sense of Voevodsky, this relies on the work of Levine, Röndigs-Østvær and Voevodsky. It also follows that the smash product in $\mathrm {Spt}_{T}^{\Sigma }\mathcal {M}_{\ast }$ induces pairings in the motivic Atiyah-Hirzebruch spectral sequence.

Filtration par les tranches, motifs mixtes, suite spectrale motivique de Atiyah-Hirzebruch, théorie homotopique des schémas
Mixed motives, motivic Atiyah-Hirzebruch spectral sequence, motivic homotopy theory, slice filtration
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