La cohomologie de de Rham tordue (periodique de période $2$) est une construction bien connue, elle est importante en tant que codomaine d'un caractère de Chern pour la K-theorie tordue. La motivation principale de notre livre est une interprétation topologique de la cohomologie de de Rham tordue, une interprétation avec généralisations à des espaces et coefficients arbitraires. Dans ce but, nous développons une théorie des faisceaux sur des piles topologiques localement compactes, et plus particulièrement :

• la construction des opérations de la théorie des faisceaux dans les catégories dérivées non-bornées,
• les éléments de la dualité de Verdier,
• et l'intégration.

Notre résultat principal est la construction d'une périodisation fonctorielle associé a une $U(1)$-gerbe. Parmi les applications, citons la vérification d'un isomorphisme de T-dualité pour la cohomologie périodique tordue et celle des orbi-espaces.