Ce texte commence par une analyse de l'article fondamental de Jean Leray sur les équations de Navier-Stokes et un bref survol du problème de la régularité globale. Puis, nous étudions les propriétés lagrangiennes des solutions des équations de Navier-Stokes. Dans une dernière section, nous établissons une estimation qui décrit en particulier l'effet régularisant de l'équation de Navier-Stokes en termes d'analyticité.