Nous montrons qu'il existe exactement quatre catégories de fusion dans la classe d'équivalence au sens de Morita du sous-facteur  "Extended Haagerup"  (𝓔𝓗), et unicité de l'équivalence entre chaque paire. Le sous-facteur 𝓔𝓗 correspond à l'équivalence de Morita entre 𝓔𝓗$_1$ et 𝓔𝓗$_2$. Les nouvelles catégories 𝓔𝓗$_3$ et 𝓔𝓗$_4$ donnent de nouveaux exemples de sous-facteurs exotiques. Les catégories 𝓔𝓗 sont les seules catégories de fusion connues qui ne sont pas reliées à un groupe (quantique) ou à une catégorie quadratique d'Izumi.

Pour construire 𝓔𝓗$_3$ et 𝓔𝓗$_4$, nous élaborons une construction générale de catégories de fusion au sein d'une classe d'équivalence de Morita d'un sous-facteur. Nous montrons que les plongements de l'algèbre planaire de sous-facteurs $P_\bullet$ dans les algèbres planaires de graphe sont en équivalence avec les catégories de modules de pivot  $\rm C^*$ sur $P_\bullet$. Nous construisons 𝓔𝓗$_3$ et 𝓔𝓗$_4$ en plongeant l'algèbre planaire 𝓔𝓗 dans les algèbres planaires de deux nouveaux graphes. Cette technique répond à une question de Jones de longue date : quelle algèbre planaire de graphe contient une algèbre planaire de sous-facteur donnée?