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Les catégories de fusion Haagerup Étendues

The Extended Haagerup fusion categories

Pinhas GROSSMAN, Scott MORRISON, David PENNEYS, Emily PETERS & Noah SNYDER
Les catégories de fusion Haagerup Étendues
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 2
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 46L37, 18M20
  • Pages : 589-664
  • DOI : 10.24033/asens.2541

Nous montrons qu'il existe exactement quatre catégories de fusion dans la classe d'équivalence au sens de Morita du sous-facteur  "Extended Haagerup"  (𝓔𝓗), et unicité de l'équivalence entre chaque paire. Le sous-facteur 𝓔𝓗 correspond à l'équivalence de Morita entre 𝓔𝓗$_1$ et 𝓔𝓗$_2$. Les nouvelles catégories 𝓔𝓗$_3$ et 𝓔𝓗$_4$ donnent de nouveaux exemples de sous-facteurs exotiques. Les catégories 𝓔𝓗 sont les seules catégories de fusion connues qui ne sont pas reliées à un groupe (quantique) ou à une catégorie quadratique d'Izumi.

Pour construire 𝓔𝓗$_3$ et 𝓔𝓗$_4$, nous élaborons une construction générale de catégories de fusion au sein d'une classe d'équivalence de Morita d'un sous-facteur. Nous montrons que les plongements de l'algèbre planaire de sous-facteurs $P_\bullet$ dans les algèbres planaires de graphe sont en équivalence avec les catégories de modules de pivot  $\rm C^*$ sur $P_\bullet$. Nous construisons 𝓔𝓗$_3$ et 𝓔𝓗$_4$ en plongeant l'algèbre planaire 𝓔𝓗 dans les algèbres planaires de deux nouveaux graphes. Cette technique répond à une question de Jones de longue date : quelle algèbre planaire de graphe contient une algèbre planaire de sous-facteur donnée?

We show there are exactly four fusion categories in the Morita equivalence class of the Extended Haagerup (𝓔𝓗) subfactor, and a unique Morita equivalence between each pair. The 𝓔𝓗 subfactor corresponds to the Morita equivalence between 𝓔𝓗$_1$ and 𝓔𝓗$_2$. The new categories 𝓔𝓗$_3$ and 𝓔𝓗$_4$ give new exotic subfactors. The 𝓔𝓗 categories are the only known fusion categories unrelated to (quantum) groups or Izumi quadratic categories.  

To construct 𝓔𝓗$_3$ and 𝓔𝓗$_4$, we give a general computational recipe to construct fusion categories in the Morita equivalence class of a subfactor. We show that subfactor planar algebra embeddings from $P_\bullet$ into graph planar algebras are equivalent to pivotal module $\rm C^*$ categories over $P_\bullet$. We construct 𝓔𝓗$_3$ and 𝓔𝓗$_4$ by embedding the 𝓔𝓗 planar algebra inside the graph planar algebras of two new graphs. This technique answers a long-standing question of Jones: which graph planar algebras contain a given subfactor planar algebra?

Sous-facteurs, catégories de fusion, l'algèbre planaires, symétrie quantique
Subfactors, fusion categories, planar algebras, quantum symmetry

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