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L'ouverture de la K-stabilité uniforme en familles de variétés algébriques $\mathbb{Q}$-Fano

Openness of uniform K-stability in families of $Q$-Fano varieties

Harold BLUM & Yuchen LIU
L'ouverture de la K-stabilité uniforme en familles de variétés algébriques $\mathbb{Q}$-Fano
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 1
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14J10, 14J45, 32Q20
  • Pages : 1-41
  • DOI : 10.24033/asens.2490

Nous démontrons que la K-stabilité uniforme est une condition ouverte pour la topologie de Zariski dans une famille $\mathbb{Q}$-Gorenstein de variétés algébriques $\mathbb{Q}$-Fano. Pour prouver ce résultat, nous considérons le seuil de stabilité en familles. Le seuil de stabilité (également appelé l'invariant delta) est un invariant qui détecte la K-semistabilité et la K-stabilité uniforme d'une variété algébrique $\mathbb{Q}$-Fano. Nous démontrons que le seuil de stabilité est semi-continu inférieurement en familles et fournissons une interprétation de cet invariant en termes de K-stabilité des paires log.

We show that uniform K-stability is a Zariski open condition in $Q$-Gorenstein families of $Q$-Fano varieties. To prove this result, we consider the behavior of the stability threshold in families. The stability threshold (also known as the delta-invariant) is a recently introduced invariant that is known to detect the  K-semistability and uniform K-stability of a $Q$-Fano variety. We show that the stability threshold is lower semicontinuous in families and provides an interpretation of the invariant in terms of the K-stability of log pairs.

K-stabilité, variétés de Fano, seuil de stabilité
K-stability, Fano varieties, stability threshold

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