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Chirurgie stratifiée et invariants de l' opérateur de signature dans la K-théorie

Stratified surgery and K-theory invariants of the signature operator

Pierre ALBIN & Paolo PIAZZA
Chirurgie stratifiée et invariants de l' opérateur de signature dans la K-théorie
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 1
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 58A35; 57R67, 55N33
  • Pages : 43-108
  • DOI : 10.24033/asens.2491

Dans les travaux de Higson-Roe le rôle fondamental de la signature comme invariant par homotopie et par bordisme de variétés orientées est le point de départ des recherches sur les liens entre les invariants analytiques et topologiques des variétés régulières orientées. La signature et certains invariants de K-théorie associés, primaires et secondaires, définissent une transformation naturelle entre la suite exacte de chirurgie de Browder-Novikov-Sullivan-Wall et une suite exacte longue des groupes de K-théorie pour des algèbres $C^*$.

Dans les dernières années l'étude des invariants de signature primaires des variétés orientées a été étendue à une classe d'espaces stratifiés connue sous le nom de L-espaces ou espaces de Cheeger. Dans ce papier, nous démontrons que les invariants secondaires, tels que la classe $\rho$, peuvent être étendus aux espaces de Cheeger. Nous traitons rigoureusement une suite exacte de chirurgie pour espaces stratifiés introduite originalement par Browder-Quinn et nous obtenons une transformation naturelle analogue à celle de Higson-Roe. Nous discutons aussi des applications géométriques.

In the works of Higson-Roe the fundamental role of the signature as a homotopy and bordism invariant for oriented manifolds is the starting point for an investigation of the relationships between analytic and topological invariants of smooth orientable manifolds. The signature and related K-theory invariants, primary and secondary, are used to define a natural transformation between the (Browder-Novikov-Sullivan-Wall) surgery exact sequence and a long exact sequence of $C^*$ algebra K-theory groups.

In recent years the primary signature invariants have been extended from closed oriented manifolds to a class of stratified spaces known as L-spaces or Cheeger spaces. In this paper we show that secondary invariants, such as the $\rho$ class, also extend from closed manifolds to Cheeger spaces.
We give a rigorous account of a surgery exact sequence for stratified spaces originally introduced by Browder-Quinn and obtain a natural transformation analogous to that of Higson-Roe. We also discuss geometric applications.

Pseudo-variétés stratifiées, condition de Witt, espaces de Cheeger, opérateur de signature, classe d'indice, suite de chirurgie stratifiée, classe rho, suite de chirurgie analytique
Stratified pseudomanifold, Witt condition, Cheeger spaces, signature operator, index class, stratified surgery sequence, rho class, analytic surgery sequence

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