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Vers l'intégration liouvillienne effective

Toward Effective Liouvillian Integration

Gaël COUSIN, Alcides LINS NETO & Jorge Vitório PEREIRA
Vers l'intégration liouvillienne effective
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 1
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 32M25, 14Q20
  • Pages : 185-223
  • DOI : 10.24033/asens.2494

Nous montrons que les feuilletages du plan projectif qui admettent une intégrale première liouvillienne mais pas d'intégrale première rationnelle possèdent une courbe algébrique invariante dont le degré est majoré en  fonction de celui du feuilletage. Pour la même classe de feuilletages, nous établissons une borne pour le degré du facteur intégrant le plus simple ; cette borne ne dépend que du degré du feuilletage et de la nature de ses singularités. Nous montrons également l'existence de courbes algébriques invariantes de petit degré pour les feuilletages à intégrale première rationnelle de dimension de Kodaira intermédiaire.

We prove that foliations on the projective plane admitting a Liouvillian first integral but not admitting a rational first integral always
have invariant algebraic curves of  degree bounded by a function of the degree of the foliation. We establish, for the same class of foliations,  the existence of a bound for the degree of the simplest integrating factor depending only on the degree of the foliation and on the nature of its singularities. We also prove the existence of invariant algebraic curves of  small degree for foliations with rational first integral and intermediate Kodaira dimension.

Foliations, transversely affine structure, Liouvillian first integrals, invariant algebraic curves

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