SMF

Petits diviseurs en dimension 1

Jean-Christophe YOCCOZ
Petits diviseurs en dimension 1
  • Année : 1995
  • Tome : 231
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 30C10, 30C62, 58F03, 58F23, 58F27
  • Nb. de pages : 242
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.306

Le premier article est consacré à l'étude des difféomorphismes holomorphes d'une variable complexe au voisinage d'un point fixe. En 1942, Siegel démontrait qu'un tel germe est analytiquement linéarisable si sa partie linéaire est une rotation diophantienne ; la condition arithmétique imposée au nombre de rotation était ensuite affaiblie par Bruno. Une approche géométrique du problème permet de retrouver ces résultats et d'en démontrer la réciproque : si la condition arithmétique de Bruno n'est pas satisfaite, le polynôme quadratique correspondant n'est pas linéralisable. Le second article reprend dans une version légérement remaniée la thèse d'état de l'auteur. Il y étudie quels difféomorphismes du cercle commutent à un difféormorphisme $f$ sans orbite périodique. Quand $f$ n'est pas différentiablement conjugué à une rotation, son nombre de rotation $\rho (f) $ ne peut être diophantien d'après le théorème de Herman ; le centralisateur de $f$ reflète alors la qualité des approximations rationnelles et diophantiennes de $\rho (f) $. On construit en particulier un difféomorphisme sans orbite périodique qui ne commute qu'avec ses itérés

The dynamics of biholomorphisms in one complex variable near a fixed point is the subject of the first paper. In 1942, Siegel proved that such a germ is analytically linearizable if its linear part is a diophantine rotation ; the set of rotation numbers for wich such a linearization result holds was later enlarged by Bruno. A geometrical approach allows to give a new proof of these results, and to prove their converse : if Bruno's arithmetical condition fails to be satisfied, the corresponding quadratic polynomial is not linearizable. The second paper study wich circle diffeomorphisms commute with a diffeomorphism $f$ whose rotation number $\rho (f) $ is irrational. When $f$ is not smoothly conjugated to a rotation, $\rho (f) $ cannot be diophantine according to Herman's theorem ; the centralizer of $f$ is then related to the quality of rational and diophantine approximations of $\rho (f)$. Examples of diffeomorphisms wich only commute with iterates are constructed.

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