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Problèmes inverses dans l'analyse multifractale des mesures

Inverse problems in multifractal analysis of measures

Julien Barral
Problèmes inverses dans l'analyse multifractale des mesures
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  • Année : 2015
  • Tome : 48
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 28A78, 60F10
  • Pages : 1457-1510
  • DOI : 10.24033/asens.2274
Le formalisme multifractal est un cadre adapté pour décrire la distribution aux petites échelles des mesures de Borel finies positives à support compact dans $\mathbb R ^d$, dont l'ensemble est ici noté $\mathcal M^+_c(\mathbb R ^d)$. Il est dit valide pour une mesure $\mu $ lorsque son spectre de Hausdorff est la fonction semi-continue supérieurement obtenue comme transformée de Legendre-Fenchel concave de sa fonction d'énergie libre $\tau _\mu $ ; c'est le cas pour certaines es fondamentales de mesures exactement dimensionnelles. Pour toute fonction $\tau $ candidate à être la fonction d'énergie libre d'un élément $\mu $ de $\mathcal M^+_c(\mathbb R ^d)$, nous construisons une telle mesure, exactement dimensionnelle, et validant le formalisme. Ce résultat s'étend à un formalisme plus fin considérant simultanément spectres de Hausdorff et de packing. D'autre part, pour toute fonction semi-continue supérieurement candidate à être le spectre de Hausdorff inférieur d'une mesure exactement dimensionnelle, nous construisons une telle mesure.
Multifractal formalism is designed to describe the distribution at small scales of the elements of $\mathcal M^+_c(\mathbb R ^d)$, the set of positive, finite and compactly supported Borel measures on $\mathbb R ^d$. It is valid for such a measure $\mu $ when its Hausdorff spectrum is the upper semi-continuous function given by the concave Legendre-Fenchel transform of the free energy function $\tau _\mu $ associated with $\mu $ ; this is the case for fundamental es of exactly dimensional measures. For any function $\tau $ candidate to be the free energy function of some $\mu \in \mathcal M^+_c(\mathbb R ^d)$, we construct such a measure, exactly dimensional, and obeying the multifractal formalism. This result is extended to a refined formalism considering jointly Hausdorff and packing spectra. Also, for any upper semi-continuous function candidate to be the lower Hausdorff spectrum of some exactly dimensional $\mu \in \mathcal M^+_c(\mathbb R ^d)$, we construct such a measure.
Formalisme multifractal, analyse multifractale, dimension de Hausdorff, dimension de packing, grandes déviations, problèmes inverses.
Multifractal formalism, multifractal analysis, Hausdorff dimension, packing dimension, large deviations, inverse problems.
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