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Propriétés asymptotiques des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell en grandes dimensions

Asymptotic properties of small data solutions of the Vlasov-Maxwell system in high dimensions

Léo BIGORGNE
Propriétés asymptotiques des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell en grandes dimensions
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  • Année : 2022
  • Tome : 172
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B35, 35B40, 35Q61, 35Q83, 35LXX
  • Nb. de pages : VI+123
  • ISBN : 978-2-85629-955-5
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.480

Nous établissons dans cet article des estimations de décroissance presque optimales sur les solutions à données petites, ainsi que sur leurs dérivées, du système de Vlasov-Maxwell en dimension $n \geq 4$. Les hypothèses de petitesse ne concernent que des normes $L^1$ ou $L^2$ à poids des données initiales. Par conséquent, aucune restriction de support n'est imposée sur le champ de Vlasov ou le champ électromagnétique. Les éléments clés de la démonstration sont des méthodes de champs de vecteurs, utilisées tant pour étudier l'équation cinétique que les équations d'ondes, les propriétés isotropes du système afin de contrôler les grandes vitesses et une nouvelle inégalité de décroissance pour la moyenne en vitesse des solutions de l'équation de transport relativiste massive.

Nous étudions également le système de Vlasov-Maxwell sans masse pour des champs de Vlasov dont le support en vitesse est disjoint d'un voisinage de $0$. Comme nous le montrons dans ce papier, cette hypothèse est nécessaire pour que le problème soit bien posé. Nous compensons le faible taux de décroissance de la moyenne en vitesse du champ de Vlasov le long du cône de lumière en exploitant les bonnes composantes isotropes du vecteur vitesse.

We prove almost sharp decay estimates for the small data solutions and their derivatives of the Vlasov-Maxwell system in dimension $n \geq 4$. The smallness assumption concerns only certain weighted $L^1$ or $L^2$ norms of the initial data. In particular, no compact support assumption is required on the Vlasov or the Maxwell fields. The main ingredients of the proof are vector field methods for both the kinetic and the wave equations, null properties of the Vlasov-Maxwell system to control high velocities and a new decay estimate for the velocity average of the solution of the relativistic massive transport equation.

We also consider the massless Vlasov-Maxwell system under a lower bound on the velocity support of the Vlasov field. As we prove in this paper, the velocity support of the Vlasov field needs to be initially bounded away from $0$. We compensate the weaker decay estimate on the velocity average of the massless Vlasov field near the light cone by an extra null decomposition of the velocity vector.

EDP hyperboliques, système de Vlasov-Maxwell, équations non linéaires, équations d’ondes et de transport, méthode des champs de vecteurs, structure isotrope
Hyperbolic PDE, Vlasov-Maxwell system, non linear equations, wave and transport equations, vector field methods, null structure

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