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Convergence de la percolation sur des quadrangulations uniformes avec bord vers le SLE$ _6$ sur la gravité quantique de Liouville de paramètre $ \sqrt {8/3}$

Convergence of percolation on uniform quadrangulations with boundary to SLE$ _{6}$ on $ \sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity

Ewain GWYNNE, Jason MILLER
Convergence de la percolation sur des quadrangulations uniformes avec bord vers le SLE$ _6$ sur la gravité quantique de Liouville de paramètre $ \sqrt {8/3}$
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  • Année : 2021
  • Tome : 429
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60K35, 60F17, 60J67, 60G57
  • Pages : 1-127
  • DOI : 10.24033/ast.1152

Soit une quadrangulation de Boltzmann avec bord simple décorée par une percolation critique ($ p=3/4$) sur ses faces. Nous montrons que le processus d’™exploration de cette percolation entre deux aretes marquées du bord converge dans la limite d’échelle vers un processus SLE$ _6$ chordal dessiné sur un disque quantique au sens de la gravité quantique de Liouville de paramètre $ \sqrt {8/3}$ (i.e., un disque Brownien). La topologie considérée ici est la topologie de Gromov-Hausdorff-Prokhorov uniforme, qui est l’analogue de la topologie de Gromov-Hausdorff pour l’étude des espaces métriques mesurés décorés par une courbe. 
Nous obtenons également des résultats similaires pour la percolation critique sur les faces de quadrangulations uniformes infinies du demi-plan, ainsi que pour la percolation critique par sites sur une triangulation uniforme avec bord. La méthode de preuve est robuste et, modulo quelques ajustements techniques, s’étend essentiellement à tous les modèles de percolation sur les cartes planaires qui peuvent etre explorés par épluchage.

Let $ Q$ be a free Boltzmann quadrangulation with simple boundary decorated by a critical ($ p=3/4$) face percolation configuration.  We prove that the chordal percolation exploration path on $ Q$ between two marked boundary edges converges in the scaling limit to chordal SLE$ _6$ on an independent $ \sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity disk (equivalently, a Brownian disk). The topology of convergence is the Gromov-Hausdorff-Prokhorov-uniform topology, the natural analog of the Gromov-Hausdorff topology for curve-decorated metric measure spaces.  We also obtain analogous scaling limit results for face percolation on the uniform infinite half-plane quadrangulation with simple boundary, and for site percolation on a uniform triangulation with simple boundary. Our method of proof is robust and, up to certain technical steps, extends to any percolation model on a random planar map which can be explored via peeling.

Percolation, quadrangulations aléatoires uniformes, cartes planaires aléatoires, processus d’épluchage, processus SLE, gravité quantique de Liouville, disque Browniem, demi-plan Brownien, limite d’échelle
Percolation, random quadrangulation, random planar maps, peeling, Schramm-Loewner evolution, Liouville quantum gravity, Brownian disk, Brownian half-plane, scaling limit

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