SMF

Quelques aspects arithmétiques de l'hyperbolicité

Some arithmetic aspects of hyperbolicity

Pietro CORVAJA
Panoramas et Synthèses | 2021
Quelques aspects arithmétiques de l'hyperbolicité
  • Consulter un extrait 
    •
  • Année : 2021
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 253-318

Nous proposons un survol de l'étude des points entiers et de certains aspects de l'approximation diophantienne sur les variétés algébriques, et nous traitons des analogues arithmétiques de la notion d'hyperbolicité pour celles-ci.

Suivant une conjecture due à Lang et Vojta, les variétés (quasi-projectives) définies sur des corps de nombres dont les points complexes forment une variété hyperbolique (au sens analytique complexe) devraient admettre des ensembles dégénérés de points entiers ou rationnels.

En dimension 1, d'après les travaux de Siegel et Faltings, on sait que les notions analytique et arithmétique d'hyperbolicité sont équivalentes. Nous montrons, en nous concentrant principalement sur le cas de la dimension 2, que beaucoup de problème diophantiens apparemment sans rapport peuvent être ramenés à des questions portant sur la distribution des points entiers sur certaines surfaces algébriques.

Des exemples significatifs sont les suivants. Le théorème de Darmon et Granville sur l'équation de Fermat généralisée $x^p +y^q = z^r$ est démontré ici d'une façon légèrement simplifiée et le lien avec l'hyperbolicité du triplet d'exposants $(p, q, r)$ est développé en détail. Une conjecture sur les dénominateurs des points rationnels sur les courbes elliptiques est relié à la conjecture de Vojta, et une version plus faible est établie inconditionnellement.

Un outil fondamental des preuves de finitude ou de dégénérescence des points entiers sur les variétés est fourni par l'approximation diophantienne. Cette théorie est aussi liée aux questions d'hyperbolicité, et en particulier un nouveau « gap principle » pour les points rationnels sur les courbes elliptiques est démontré et on montre que sa formulation est liée à une condition d'hyperbolicité.

We give a survey of the study of integral points and some aspects of Diophantine approximation on algebraic varieties, and we treat arithmetic analogues of the notion of hyperbolicity for algebraic varieties.

According to a conjecture by Lang and Vojta, those (quasi projective) algebraic varieties, defined over number fields, whose complex points form a  hyperbolic manifold (in the complex analytic sense) should admit only degenerate sets of integral or rational points.

In dimension one, after the work of Siegel and Faltings, it is known that the analytic and arithmetic notions of hyperbolicity are equivalent.  We show, mainly focusing on the two-dimensional case, that many apparently unrelated Diophantine problems can be reduced to questions about the distribution of integral points on certain algebraic surfaces.

Significant examples are the following. The theorem of Darmon and Granville on the generalized Fermat equation $x^p+y^q=z^r$ is proved here in a slightly simplified way and its connection with the hyperbolicity of the triple of exponents $(p,q,r)$ is developed in detail. A conjecture about the denominators of rational points on elliptic curves is linked to Vojta's conjecture, and a weaker version is unconditionally established.

A main tool in the proofs of finiteness or degeneracy results for integral points on varieties is provided by Diophantine approximation.  The theory of Diophantine approximation is also linked to questions of hyperbolicity, and in particular a new \lq\lq gap principle\rq\rq{} for rational points on elliptic curves is proved and its formulation is shown to be directly linked to a hyperbolicity condition.

Voir l'ouvrage complet / Download entire document
Retour
Haut de page