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Charactérisations du SLE$ _\kappa$ pour $ \kappa \in (4,8)$ sur une surface quantique au sens de la gravité de Liouville

Characterizations of SLE$ _{\kappa}$ for $ \kappa \in (4,8)$ on Liouville quantum gravity

Ewain GWYNNE, Jason MILLER
Charactérisations du SLE$ _\kappa$ pour $ \kappa \in (4,8)$ sur une surface quantique au sens de la gravité de Liouville
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  • Année : 2021
  • Tome : 429
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60J67, 60G57
  • Pages : 129-242
  • DOI : 10.24033/ast.1153

Nous prouvons que la loi d’un processus SLE$ _\kappa$ pour $ \kappa \in (4,8)$ dessiné sur une surface quantique au sens de la gravité quantique de Liouville de paramètre $ \gamma = 4 / \sqrt {\kappa}$ est complètement charactérisée par les données de la forme du processus qui mesure la longueur quantique du bord du domaine restant, et par la forme de la loi conditionelle de la surface restant à explorer conditionnellement à la surface déjà explorée et décorée par la courbe déjà découverte à chaque instant donné $ t$. Nous établissons des versions de cette charactérisation pour la version du SLE$ _\kappa$ remplissant le plan sur une surface quantique d’aire infinie, ainsi que pour le SLE$ _\kappa$ chordal sur une surface quantique dâaire finie avec bord. En utilisant l’équivalence entre les surfaces browniennes et les surfaces quantiques de paramètre $ \sqrt {8/3}$, nous en déduisons une charactérisation de la loi d’un SLE$ _6$ dessiné sur un disque brownien. 
Ce dernier résultat est utilisé dans un autre article des memes auteurs pour établir la convergence (dans la limite d’échelle) des interfaces de la percolation critique sur des quadrangulations uniformes avec bord vers le SLE$ _6$ sur la gravité quantique de Liouville de paramètre $ \sqrt {8/3}$, au sens de la topologie de Gromov-Hausdorff-Prokhorov uniforme, qui est le pendant naturel de la topologie de Gromov-Hausdorff pour les espaces métriques mesurés décorés par une courbe.

We prove that SLE$ _\kappa$ for $ \kappa \in (4,8)$ on an independent $ \gamma=4/\sqrt{\kappa}$-Liouville quantum gravity (LQG) surface is uniquely characterized by the form of its LQG boundary length process and the form of the conditional law of the unexplored quantum surface given the explored curve-decorated quantum surface up to each time $ t$.  We prove variants of this characterization for both whole-plane space-filling SLE$ _\kappa$ on an infinite-volume LQG surface and for chordal SLE$ _\kappa$ on a finite-volume LQG surface with boundary.  Using the equivalence of Brownian and $ \sqrt{8/3}$-LQG surfaces, we deduce that SLE$ _6$ on the Brownian disk is uniquely characterized by the form of its boundary length process and that the complementary connected components of the curve up to each time $ t$ are themselves conditionally independent Brownian disks given this boundary length process.
The results of this paper are used in another paper by the same authors to show that the scaling limit of percolation on random quadrangulations is given by SLE$ _6$ on $ \sqrt{8/3}$-LQG with respect to the Gromov-Hausdorff-Prokhorov-uniform topology, the natural analog of the Gromov-Hausdorff topology for curve-decorated metric measure spaces.

Processus SLE, gravité quantique de Liouville, disque brownien, champ libre Gaussien, charactérisation markovienne, propriété de Markov
Schramm-Loewner evolution, Liouville quantum gravity, Brownian disk, Gaussian free field, Markovian characterization, Markov property

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