Les espaces de modules de variétés algébriques comprennent naturellement les dégénérescences de variétés en famille. Par exemple, l'obstruction aux dégénérescences non triviales de certaines familles de variétés peut être décrite par la non existence de certaines sous-variétés dans les espaces de modules associés. Nous étudions le rôle conjectural de la dimension de Kodaira en tant qu'invariant pouvant être utilisé pour décrire de telles obstructions.

Des progrès récents dans la compréhension des propriétés de positivité de faisceaux tangents de variétés non uniréglées, et les généralisations naturelles au cadre logarithmique à de paires $(X, D)$, s'est révélé être un outil puissant dans l'étude de la dimension de Kodaira des bases de familles de variétés.

Nous faisons une recension détaillée de la généralisation due à Campana et Păun des résultats de semi-positivité générique de Miyaoka. Dans sa forme la plus simple ce résultat affirme que les quotients du fibré cotangent logarithmique $\Omega^1_X(\log D)$ ont des pentes semi-positives par rapport à tout diviseur ample, pourvu que le diviseur log-canonique $K_X + D$ soit pseudo-effectif.

Une conséquence-clé relie ensuite le caractère big de $K_X + D$ aux propriétés de positivité du faisceau des formes pluri-(log-)différentielles. Ceci, avec un résultat de Viehweg et Zuo sur le caractère big du faisceau des formes pluri-differentielles des champs de modules des variétés canoniquement polarisées, conduit à la preuve d'une célèbre conjecture de Viehweg sur l'hyperbolicité algébrique de ces espaces : les sous-variétés des champs de modules des variétés canoniquement polarisées sont toutes de type log-général.