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Positivité générique et applications à l'hyperbolicité des espaces de modules

Generic positivity and applications to hyperbolicity of moduli spaces

Benoît CLAUDON, Stefan KEBEKUS and Behrouz TAJI
Positivité générique et applications à l'hyperbolicité des espaces de modules
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  • Année : 2021
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14D23, 14E05, 14E30, 14F10, 14J10, 14J17, 32Q45, 32Q26
  • Pages : 169-208

Les espaces de modules de variétés algébriques comprennent naturellement les dégénérescences de variétés en famille. Par exemple, l'obstruction aux dégénérescences non triviales de certaines familles de variétés peut être décrite par la non existence de certaines sous-variétés dans les espaces de modules associés. Nous étudions le rôle conjectural de la dimension de Kodaira en tant qu'invariant pouvant être utilisé pour décrire de telles obstructions.

Des progrès récents dans la compréhension des propriétés de positivité de faisceaux tangents de variétés non uniréglées, et les généralisations naturelles au cadre logarithmique à de paires $(X, D)$, s'est révélé être un outil puissant dans l'étude de la dimension de Kodaira des bases de familles de variétés.

Nous faisons une recension détaillée de la généralisation due à Campana et Păun des résultats de semi-positivité générique de Miyaoka. Dans sa forme la plus simple ce résultat affirme que les quotients du fibré cotangent logarithmique $\Omega^1_X(\log D)$ ont des pentes semi-positives par rapport à tout diviseur ample, pourvu que le diviseur log-canonique $K_X + D$ soit pseudo-effectif.

Une conséquence-clé relie ensuite le caractère big de $K_X + D$ aux propriétés de positivité du faisceau des formes pluri-(log-)différentielles. Ceci, avec un résultat de Viehweg et Zuo sur le caractère big du faisceau des formes pluri-differentielles des champs de modules des variétés canoniquement polarisées, conduit à la preuve d'une célèbre conjecture de Viehweg sur l'hyperbolicité algébrique de ces espaces : les sous-variétés des champs de modules des variétés canoniquement polarisées sont toutes de type log-général.

Moduli theory of algebraic varieties naturally includes the study of the degeneration of varieties in families.  For example, the obstruction to non-trivial degeneration of certain families of varieties can be described as non-existence of some subvarieties in their associated moduli spaces.  We study the conjectural role of the Kodaira dimension as an invariant that can be used to describe such obstructions.

Recent advances in our understanding of the positivity properties of tangent sheaves of non-uniruled varieties, and the natural generalizations to the logarithmic setting for pairs $ (X,D)$, has proved to be a powerful tool in the study of Kodaira dimension of base spaces of varying families of manifolds.

We give a detailed account of Campana and Păun’s generalization of the generic semi-positivity results of Miyaoka.  In its simplest form this result asserts that quotients of the logarithmic cotangent bundle $ \Omega ^1 _X (\log D)$ have semi-positive slopes with respect to any ample divisor, as long as the log-canonical divisor $ K_X+D$ is pseudo-effective.

Families, canonically polarized manifolds, moduli, Kodaira dimension, foliation, generic semipositivity, minimal model program