Nous étudions une célèbre conjecture de Shoshichi Kobayashi (1970), suivant laquelle une hypersurface algébrique de dimension $n$ et de degré $d\ge d_n$ suffisamment grand dans l'espace projectif complexe $\mathbb P^{n+1}$ est hyperbolique.

Par une caractérisation classique de Brody, une telle variété ne contient pas de courbe entière holomorphe non constante. Comme on le sait bien depuis les travaux de Green et Griffiths, un ingrédient crucial est la structure géométrique de certains fibrés de jets et des différentielles de jets associées. Plus précisément, on utilise la tour de Demailly--Semple, qui est une tour tordue de fibrés projectifs liés aux différentielles de jets invariants par reparamétrisation.

D'après un résultat d'annulation fondamental, les différentielles globales de jets à valeurs dans des fibrés en droites négatifs fournissent des équations différentielles algébriques que toutes les courbes entières doivent satisfaire. Si le lieu de base de ces équations différentielles est suffisamment petit, autrement dit s'il y a assez d'équations différentielles indépendantes, alors toutes les courbes entières doivent être constantes. Au début des années 2000,  Yum-Tong Siu a proposé une stratégie quelque peu différente qui a finalement conduit à une preuve en 2015. La preuve de Siu, qui est basée sur des arguments de théorie de Nevanlinna combinée avec l'usage de champs de vecteurs tordus apparaît longue et délicate.

En 2016 la conjecture a été démontrée d'une autre façon par Damian Brotbek, faisant un usage direct des opérateurs différentiels wronskiens et des idéaux multiplicateurs associés. Peu de temps après, Ya Deng a montré que l'approche pouvait être mise en oeuvre pour fournir une valeur explicite de $d_n$. Nous donnons une preuve courte basée sur une simplification radicale de leurs idées, ainsi qu'une amélioration de la borne de Deng, à savoir $d_n = \lfloor (en)^{2n+2}/5\rfloor$.

Nous montrons que la même technique fournit des exemples d'hypersurfaces algébriques lisses de $\mathbb P^{n+1}$ de petit degré $d = O(n^2)$, suivant une approche due à Shiffman et Zaidenberg.