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Une preuve simple de la conjecture de Kobayashi sur l'hyperbolicité des hypersurfaces algébriques génériques

A simple proof of the Kobayashi conjecture on the hyperbolicity of general algebraic hypersurfaces

Jean-Pierre DEMAILLY
Panoramas et Synthèses | 2021
Une preuve simple de la conjecture de Kobayashi sur l'hyperbolicité des hypersurfaces algébriques génériques
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  • Année : 2021
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 89-134

Nous étudions une célèbre conjecture de Shoshichi Kobayashi (1970), suivant laquelle une hypersurface algébrique de dimension $n$ et de degré $d\ge d_n$ suffisamment grand dans l'espace projectif complexe $\mathbb P^{n+1}$ est hyperbolique.

Par une caractérisation classique de Brody, une telle variété ne contient pas de courbe entière holomorphe non constante. Comme on le sait bien depuis les travaux de Green et Griffiths, un ingrédient crucial est la structure géométrique de certains fibrés de jets et des différentielles de jets associées. Plus précisément, on utilise la tour de Demailly--Semple, qui est une tour tordue de fibrés projectifs liés aux différentielles de jets invariants par reparamétrisation.

D'après un résultat d'annulation fondamental, les différentielles globales de jets à valeurs dans des fibrés en droites négatifs fournissent des équations différentielles algébriques que toutes les courbes entières doivent satisfaire. Si le lieu de base de ces équations différentielles est suffisamment petit, autrement dit s'il y a assez d'équations différentielles indépendantes, alors toutes les courbes entières doivent être constantes. Au début des années 2000,  Yum-Tong Siu a proposé une stratégie quelque peu différente qui a finalement conduit à une preuve en 2015. La preuve de Siu, qui est basée sur des arguments de théorie de Nevanlinna combinée avec l'usage de champs de vecteurs tordus apparaît longue et délicate.

En 2016 la conjecture a été démontrée d'une autre façon par Damian Brotbek, faisant un usage direct des opérateurs différentiels wronskiens et des idéaux multiplicateurs associés. Peu de temps après, Ya Deng a montré que l'approche pouvait être mise en oeuvre pour fournir une valeur explicite de $d_n$. Nous donnons une preuve courte basée sur une simplification radicale de leurs idées, ainsi qu'une amélioration de la borne de Deng, à savoir $d_n = \lfloor (en)^{2n+2}/5\rfloor$.

Nous montrons que la même technique fournit des exemples d'hypersurfaces algébriques lisses de $\mathbb P^{n+1}$ de petit degré $d = O(n^2)$, suivant une approche due à Shiffman et Zaidenberg.

We investigate a famous conjecture of Shoshichi Kobayashi (1970), according to which a generic algebraic hypersurface of dimension $ n$ and of sufficiently large degree $ d\geq d_n$ in the complex projective space $ \mathbb P^{n+1}$ is hyperbolic.  

By a classical characterization due to Brody, such a variety does not possess non-constant entire holomorphic curves.  As is well-known since the work of Green and Griffiths, one crucial ingredient is the geometric structure of certain jet bundles and their associated jet differentials. More precisely, one makes use of the so-called Demailly-Semple tower, which is a twisted tower of projective bundles related to jet differentials that are invariant by reparametrization.  

According to a fundamental vanishing theorem, global jet differentials with values in negative line bundles provide algebraic differential equations that all entire curves must satisfy. If the base locus of these differential equations is small enough, which is to say, if there are enough independent differential equations then all entire curves must be constant. In the early 2000’s Yum-Tong Siu proposed a somewhat different strategy that ultimately led to a proof in 2015. Siu’s proof, which based on Nevanlinna theory arguments combined with the use of slanted vector fields, appears to be long and delicate. 

In 2016 the conjecture was settled in a different way by Damian Brotbek, making direct use of Wronskian differential operators and associated multiplier ideals. Shortly afterwards Ya Deng showed how the approach could be completed to yield an explicit value of $ d_n$. We provide a short proof based on a drastic simplification of their ideas, along with a further improvement of Deng’s bound, namely $ d_n=\lfloor (en)^{2n+2}/5\rfloor$. 

We show that the same technique provides examples of smooth algebraic hypersurfaces of $ {\mathbb P}^{n+1}$ of low degree $ d=O(n^2)$, following an approach due to Shiffman and Zaidenberg.

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