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Autour du lemme de Brody

Around Brody lemma

Julien DUVAL
Autour du lemme de Brody
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  • Année : 2021
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 32Q45
  • Pages : 1-12

Le lemme de Brody est un outil fondamental en hyperbolicité. Il fournit une courbe entière, c’est-à-dire l’image d’une droite complexe par une application holomorphe non constante, en-dehors d’une suite divergente de disques holomorphes. Ainsi le lemme de Brody caractérise l’hyperbolicité en termes d’absence de courbes entières.

Nous présentons des applications directes du lemme de Brody, notamment le théorème de Green (hyperbolicité du complément de 5 droites dans le plan projectif) et un exemple de surface hyperbolique de degré 6 dans l’espace projectif. Nous décrivons aussi une variante du lemme de Brody permettant de mieux localiser la courbe entière produite.

Comme sous-produit de cette variante, l’hyperbolicité est caractérisée en termes d’inégalité isopérimétrique linéaire pour les disques holomorphes.

Brody’s lemma is a basic tool in hyperbolicity. It provides an entire curve, i.e., a non constant holomorphic image of the complex line, out of a diverging sequence of holomorphic discs. Consequently Brody’s Lemma characterizes hyperbolicity in terms of absence of entire curves. 

We present direct applications of Brody’s Lemma, including the Green theorem (hyperbolicity of the complement of 5 lines in the projective plane) and an example of a hyperbolic surface of degree 6 in the projective space. We also describe a variant of Brody’s lemma aiming to better localize the entire curve it produces.  

As a byproduct of this variant, hyperbolicity is characterized in terms of a linear isoperimetric inequality for holomorphic discs.

Brody curve, Ahlfors current, hyperbolicity
Brody curve, Ahlfors current, hyperbolicity