Après un retour sur la preuve par Bogomolov du fait que sur les surfaces lisses telles que $c^2_1 > c_2$, les courbes de degré géométrique borné forment un famille bornée, nous expliquons les étapes principales de la preuve, due à McQuillan, des conjectures de Green--Griffiths pour ces surfaces. Vues de loin, les deux preuves suivent la même stratégie, mais la seconde requiert une analyse bien plus profonde des outils utilisés.

Afin de décrire la preuve de McQuillan nous expliquons la construction des courants d'Ahlfors associés aux courbes entières dans une variété et nous montrons comment ceux-ci peuvent être utilisés pour produire des substituts des nombres d'intersection. Une preuve de l'inégalité tautologique à la fois dans le cas standard et dans le cas logarithmique est donnée. Nous expliquons comment les hypothèses nous permettent de supposer que la courbe entière considérée (qui \emph{a posteriori} ne pourra pas exister) est la feuille d'un feuilletage. Afin de simplifier certains points techniques de la preuve, nous imposons des restrictions sur les singularités de ce feuilletage (la preuve générale nécessite une analyse beaucoup plus poussée mais les idées principales apparaissent déjà sous ces restrictions).

Dans la dernière section, nous décrivons très brièvement une stratégie possible (proposée par McQuillan) pour la preuve du cas général de la conjecture, avec une explication des principales difficultés à surmonter.