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Approche de McQuillan pour la conjecture de Green-Griffiths pour les surfaces

McQuillan’s approach to the Green-Griffiths conjecture for surfaces

Carlo GASBARRI
Approche de McQuillan pour la conjecture de Green-Griffiths pour les surfaces
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  • Année : 2021
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 135-167

Après un retour sur la preuve par Bogomolov du fait que sur les surfaces lisses telles que $c^2_1 > c_2$, les courbes de degré géométrique borné forment un famille bornée, nous expliquons les étapes principales de la preuve, due à McQuillan, des conjectures de Green--Griffiths pour ces surfaces. Vues de loin, les deux preuves suivent la même stratégie, mais la seconde requiert une analyse bien plus profonde des outils utilisés.

Afin de décrire la preuve de McQuillan nous expliquons la construction des courants d'Ahlfors associés aux courbes entières dans une variété et nous montrons comment ceux-ci peuvent être utilisés pour produire des substituts des nombres d'intersection. Une preuve de l'inégalité tautologique à la fois dans le cas standard et dans le cas logarithmique est donnée. Nous expliquons comment les hypothèses nous permettent de supposer que la courbe entière considérée (qui \emph{a posteriori} ne pourra pas exister) est la feuille d'un feuilletage. Afin de simplifier certains points techniques de la preuve, nous imposons des restrictions sur les singularités de ce feuilletage (la preuve générale nécessite une analyse beaucoup plus poussée mais les idées principales apparaissent déjà sous ces restrictions).

Dans la dernière section, nous décrivons très brièvement une stratégie possible (proposée par McQuillan) pour la preuve du cas général de la conjecture, avec une explication des principales difficultés à surmonter.

After reviewing the proof by Bogomolov of the fact that, on smooth projective surfaces with $ c_1^2>c_2$,  curves of bounded geometric genus form a bounded family, we explain the main steps of the proof, given by McQuillan, of the Green-Griffiths conjectures for these surfaces.  Viewed from afar the two proofs follow the same strategy, but the second requires a much deeper analysis of the tools involved. 

In order to describe McQuillan’s proof we explain the construction of the Ahlfors currents associated to entire curves in a variety and we show how these can be used to produce  a substitute for intersection numbers. A proof of the tautological inequality in both the standard case and the logarithmic case is given. We explain how the hypotheses allow us to suppose that the involved entire curve (which a posteriori should not exist) is a leaf of a foliation. In order to simplify some technical points of the proof we impose some restrictions on the singularities of this foliation (the general case requires a much more involved analysis but the main ideas of the proof are already visible under this restriction). 

In the last section we give a very brief description of a possible strategy (proposed by McQuillan) for the proof of the general case of the conjecture, together with an explanation of the main difficulties that must be overcome.