Nous fournissons une recension détaillée de la percée récente de Wu et Yau, généralisée peu de temps ensuite par Tosatti et Yang (ainsi que par Diverio et Trapani). Cette percée se situe à l'intersection de la géométrie différentielle complexe et de l'hyperbolicité au sens de Kobayashi.

Plus précisément, une conjecture ancienne de Kobayashi, énoncée dès le début de la théorie, prévoit qu'une variété projective complexe (ou plus généralement une variété kählérienne compacte) hyperbolique au sens de Kobayashi doit être à fibré canonique ample. D'une part, il est connu également depuis le début de la théorie qu'une variété compact complexe avec une métrique hermitienne dont la courbure sectionnelle holomorphe est négative, est hyperbolique au sens de Kobayashi. D'autre part, on sait - par les célèbres travaux d'Aubin et Yau - qu'une variété kählérienne compacte à fibré canonique ample admet une métrique kählérienne à courbure de Ricci (constante) négative.

Le théorème de Wu et Yau établit que si une variété lisse projective admet une métrique kählérienne à courbure sectionnelle holomorphe négative, alors elle admet aussi une métrique kählérienne (éventuellement différente) à courbure de Ricci négative. Le résultat peut donc être vu comme une confirmation faible de la conjecture de Kobayashi ci-dessus, puisqu'il aboutit à la même conclusion, avec une hypothèse plus forte sur la courbure sectionnelle holomorphe.

Une présentation soigneusement détaillée de la preuve du théorème de Wu-Yau est aussi l'occasion de présenter les notions de base de la géométrie différentielle complexe et de plusieurs résultats, positifs et négatifs, à propos du lien entre courbure et hyperbolicité au sens de Kobayashi. Des questions ouvertes naturelles sont aussi discutées.

La preuve du théorème de Wu-Yau présentée ici suit les idées principales originales, mais la conclusion de la preuve est simplifiée quelque peu grâce à l'approche pluri-potentielle de Diverio et Trapani.