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Hyperbolicité au sens de Kobayashi, négativité de la courbure et positivité du fibré canonique

Kobayashi hyperbolicity, negativity of the curvature and positivity of the canonical bundle

Simone DIVERIO
Hyperbolicité au sens de Kobayashi, négativité de la courbure et positivité du fibré canonique
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  • Année : 2021
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 209-252

Nous fournissons une recension détaillée de la percée récente de Wu et Yau, généralisée peu de temps ensuite par Tosatti et Yang (ainsi que par Diverio et Trapani). Cette percée se situe à l'intersection de la géométrie différentielle complexe et de l'hyperbolicité au sens de Kobayashi.

Plus précisément, une conjecture ancienne de Kobayashi, énoncée dès le début de la théorie, prévoit qu'une variété projective complexe (ou plus généralement une variété kählérienne compacte) hyperbolique au sens de Kobayashi doit être à fibré canonique ample. D'une part, il est connu également depuis le début de la théorie qu'une variété compact complexe avec une métrique hermitienne dont la courbure sectionnelle holomorphe est négative, est hyperbolique au sens de Kobayashi. D'autre part, on sait - par les célèbres travaux d'Aubin et Yau - qu'une variété kählérienne compacte à fibré canonique ample admet une métrique kählérienne à courbure de Ricci (constante) négative.

Le théorème de Wu et Yau établit que si une variété lisse projective admet une métrique kählérienne à courbure sectionnelle holomorphe négative, alors elle admet aussi une métrique kählérienne (éventuellement différente) à courbure de Ricci négative. Le résultat peut donc être vu comme une confirmation faible de la conjecture de Kobayashi ci-dessus, puisqu'il aboutit à la même conclusion, avec une hypothèse plus forte sur la courbure sectionnelle holomorphe.

Une présentation soigneusement détaillée de la preuve du théorème de Wu-Yau est aussi l'occasion de présenter les notions de base de la géométrie différentielle complexe et de plusieurs résultats, positifs et négatifs, à propos du lien entre courbure et hyperbolicité au sens de Kobayashi. Des questions ouvertes naturelles sont aussi discutées.

La preuve du théorème de Wu-Yau présentée ici suit les idées principales originales, mais la conclusion de la preuve est simplifiée quelque peu grâce à l'approche pluri-potentielle de Diverio et Trapani.

We give a detailed account of a recent breakthrough by Wu and Yau, generalized shortly afterwards by Tosatti and Yang (and also by Diverio and Trapani).  The breakthrough sits at the crossroad of complex differential geometry and Kobayashi hyperbolicity.

More specifically, an old conjecture of Kobayashi, stated at the very beginning of the theory, predicts that a complex projective (or more generally compact Kähler) Kobayashi hyperbolic manifold should have ample canonical bundle.  On the one hand it is also known since the beginning of the theory that a compact complex manifold with a Hermitian metric whose holomorphic sectional curvature is negative is Kobayashi hyperbolic. On the other hand a compact Kähler manifold with ample canonical bundle is known - by the celebrated work of Aubin and Yau - to admit a Kähler metric with (constant) negative Ricci curvature.

Wu and Yau's theorem states that if a smooth projective manifold admits a Kähler metric with negative holomorphic sectional curvature, then it also admits a possibly different Kähler metric whose Ricci curvature is negative. The result can be therefore seen as a weak confirmation of Kobayashi's conjecture above, since it gives the same conclusion but with the stronger hypothesis about the holomorphic sectional curvature.

Beside a careful, fully detailed presentation of the proof of the Wu-Yau theorem, we take the opportunity to give some basic background material on complex differential geometry and several results, positive and negative, about the link between curvature and Kobayashi hyperbolicity.  Some natural open questions are also discussed.

The proof of the Wu-Yau theorem presented here closely follows the original main ideas by Wu and Yau, but the conclusion of the proof is simplified somewhat by using the pluripotential approach of Diverio and Trapani.