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Quelques aspects fractals des fragmentations aléatoires

Some fractal aspects of random fragmentations

Julien BERESTYCKI
Quelques aspects fractals des fragmentations aléatoires
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  • Année : 2010
  • Tome : 32
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 60J80, 60G18
  • Pages : 191-243

Nous nous intéressons à l'évolution d'objets qui se désagrègent de façon aléatoire au cours du temps, et pour lesquels les différents fragments évoluent indépendamment les uns des autres. Nous supposerons également une propriété naturelle d'auto-similarité statistique qui confère à ces processus une structure de fractale aléatoire. L'objet de cette partie est d'en décrire certains aspects. Dans une première section, nous présenterons les fondements de la théorie des fragmentations, et en particulier, nous verrons que la loi de tels processus est caractérisée par un indice d'auto-similarité, une mesure de dislocation et un coefficient d'érosion.  L'étude de l'évolution d'un fragment marqué de façon aléatoire est un des aspects essentiels de cette théorie.

Dans la deuxième section, nous introduirons un arbre aléatoire muni d'une distance qui permet de décrire la généalogie du processus. Nous nous intéresserons à la dimension fractale de l'ensemble de ses feuilles, et à la régularité hölderienne du profil des hauteurs.

Enfin, dans une dernière section, nous nous pencherons sur la vitesse à laquelle décroît le fragment contenant un point donné. Nous verrons qu'à des points distincts peuvent correspondre des vitesses différentes. Ceci nous conduira naturellement à étudier le spectre multifractal des vitesses de fragmentation.

We consider objects that are undergoing random dislocations along time, in such a way that different fragments evolve independently. We will also make a natural self-similarity assumption, which induces a random fractal structure on these objects.

In a first section, we will present the basics of fragmentation theory. In particular, we will see that the distributions of such processes are characterized by a self-similarity index, a dislocation measure and an erosion coefficient. A detailed study of the evolution of a randomly tagged fragment is one of the most important aspects of this theory.

In the second section, we will introduce a random tree endowed with a distance, that allows to describe the genealogy of the process. We will focus on the fractal dimension of the set of its leaves, and on the H{\"o}lder regularity of the height profile.

Finally, in the third section we will consider the speed of decay of the fragment containing a given point. We will see that two different points may give rise to two different speeds. This will naturally lead us to the study of the multifractal spectrum of fragmentation speeds.

Random fragmentation, forking process, Markov chain, multiplicative cascade, random trees, Hausdorff dimension, multifractal spectrum