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Introduction

Introduction

Stéphane JAFFARD
Introduction
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  • Année : 2010
  • Tome : 32
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11J83, 11K06, 26A15, 26A30, 28A78, 28A80
  • Pages : 1-55

Ce texte propose une introduction à des concepts clefs couramment utilisés en analyse fractale, et tout particulièrement dans les deux contributions de cet ouvrage.  La première partie est une mise en perspective historique montrant comment ces notions sont intervenues et ont interagi.  Dans la deuxième partie,  différentes définitions de dimensions fractionnaires  sont introduites (boîte, Hausdorff, packing) et les outils pertinents de théorie de la mesure sont rappelés;   leur utilisation est  mise en évidence sur des exemples simples (Cantor, ...).  Après avoir introduit la notion de régularité ponctuelle, le texte  se concentre ensuite sur les  fonctions et mesures multifractales; le but est alors de déterminer les dimensions des ensembles de points ayant un exposant de  régularité donnée.  Puis on fournit quelques éléments concernant le  formalisme multifractal, qui permet de relier ces dimensions à des quantités globales effectivement calculables sur des données expérimentales.  La troisième partie apporte un éclairage spécifique sur une notion récente  qui occupe  une place maintenant centrale en analyse multifractale :  les systèmes d'ubiquité.  Il s'agit  de déterminer les dimensions des ensembles approximant à une certaine vitesse une famille de points "bien répartis", qui peut être de nature arbitraire (probabiliste ou arithmétique par exemple).

This text introduces key concepts currently used in fractal analysis, and in particular in the two contributions of this book. The first part  gives an historical account of  how these notions came into play, and interacted. In the second part, different definitions of fractional dimensions are introduced (box, Hausdorff, packing), and the corresponding  mesure theoretical  tools are recalled. Simple examples illustrate their use  (Cantor sets, ...). After introducing the notion of pointwise smoothness, the text  then focuses on multifractal measures and functions: The goal is to determine the dimensions of the sets of points where  a given regularity exponent occurs.  A few elements about the multifractal formalism are supplied: It allows to relate  these dimensions with global quantities,  effectively computable on real-life data.   The third part sheds a specific light  on a recent notion which now occupies a central place in  multifractal analysis: Ubiquity systems. The purpose is to determine the dimensions of the sets approximating at a certain rate a family of ``well spread'' points, which may be of arbitrary origin (probabilistic or arithmetic, for instance).

 

Fractals, dimension de Hausdorff, dimension de boîte, dimension de packing, régularité ponctuelle, fonction multifractale, mesure multifractale, ubiquité, approximation diophantienne, formalisme multifractal
Fractal sets, Hausdorff dimension, box dimension, packing dimension, pointwise regularity, multifractal function, multifractal measure, ubiquity, Diophantine approximation, multifractal formalism