SMF

Réduction en famille d'espaces affinoïdes

Reduction of affinoid spaces in family

Antoine DUCROS
Réduction en famille d'espaces affinoïdes
  • Consulter un extrait
  • Année : 2021
  • Fascicule : 4
  • Tome : 149
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14G22, 14G99
  • Pages : 547-611
  • DOI : 10.24033/bsmf.2838

Soit $k$ un corps ultramétrique complet. Nous démontrons un substitut au théorème de la fibre réduite (de Bosch, Lütkebohmert et Raynaud) valable pour tout morphisme $Y\to X$ plat et à fibres géométriquement réduites entre espaces $k$-affinoïdes au sens de Berkovich, sans supposer que $X$ et $Y$ sont stricts ni que la dimension relative de $Y$ sur $X$ est constante. Nous ne faisons pas appel au théorème de la fibre réduite original, ni aux techniques ou au langage de la géométrie formelle. Notre énoncé est formulé en termes de réduction graduée à la Temkin ; notre preuve repose sur un théorème de finitude de Grauert et Remmert et sur la théorie de la réduction (graduée) des germes d'espaces analytiques, due à Temkin.

Let $k$ be a non-archimedean complete field. We prove a substitute for the reduced fiber theorem (of  Bosch, Lütkebohmert and Raynaud) that holds for every morphism $Y\to X$ flat and with geometrically reduced fibers between $k$-affinoid spaces in the sense of Berkovich, without assuming that $X$ and $Y$ are strict, nor that the relative dimension of $Y$ over $X$ is constant. We do not use the original reduced fiber theorem, nor the language or the techniques of formal geometry. Our statement is formulated in terms of Temkin's graded reduction; our proof rests on a finiteness result of Grauert and Remmert and on Temkin's theory of (graded) reduction of germs of analytic spaces.

Espaces de Berkovich, réduction des espaces affinoïdes, réduction de la fibre réduite
Berkovich spaces, reduction of affinoid spaces, reduced fiber theorem