Nous démontrons que la transition de phase du modèle de Potts à $q$ états et de la percolation FK avec $q>4$ est du premier ordre. Plus précisément, nous montrons: (1) l'existence de plusieurs mesures en volume infini pour ces modèles au point critique, (2) l'émergence d'une structure ordonnée pour les mesures avec conditions au bord monochromatiques (resp. liées) pour le modèle de Potts critique (resp. pour la percolation FK), et (3) la décroissance exponentielle des corrélations pour les mesures libres des deux modèles au point critique. La preuve repose sur un calcul rigoureux des valeurs propres de Perron Frobenius associées aux blocs diagonaux de la matrice de transfert du modèle "six-vertex", qui peuvent être directement reliées à la longueur de corrélation de la percolation FK. Notamment, cette approche nous donne un calcul rigoureux des longueurs de corrélation critiques pour la percolation FK et le modèle de Potts au point critique. Nous en déduisons un comportement asymptotique de la forme $\exp(\pi^2/\sqrt{q-4}$) lorsque le paramètre $q$ tend vers 4.