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Discontinuité de la transition de phase pour la percolation FK et le modèle de Potts avec $q>4$

Discontinuity of the phase transition for the planar random-cluster and Potts models with $q>4$

Hugo DUMINIL-COPIN, Maxime GAGNEBIN, Matan HAREL, Ioan MANOLESCU & Vincent TASSION
Discontinuité de la transition de phase pour la percolation FK et le modèle de Potts avec $q>4$
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 6
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60K35, 82B20, 82B23, 82B26
  • Pages : 1363-1413
  • DOI : 10.24033/asens.2485

Nous démontrons que la transition de phase du modèle de Potts à $q$ états et de la percolation FK avec $q>4$ est du premier ordre. Plus précisément, nous montrons: (1) l'existence de plusieurs mesures en volume infini pour ces modèles au point critique, (2) l'émergence d'une structure ordonnée pour les mesures avec conditions au bord monochromatiques (resp. liées) pour le modèle de Potts critique (resp. pour la percolation FK), et (3) la décroissance exponentielle des corrélations pour les mesures libres des deux modèles au point critique. La preuve repose sur un calcul rigoureux des valeurs propres de Perron Frobenius associées aux blocs diagonaux de la matrice de transfert du modèle "six-vertex", qui peuvent être directement reliées à la longueur de corrélation de la percolation FK. Notamment, cette approche nous donne un calcul rigoureux des longueurs de corrélation critiques pour la percolation FK et le modèle de Potts au point critique. Nous en déduisons un comportement asymptotique de la forme $\exp(\pi^2/\sqrt{q-4}$) lorsque le paramètre $q$ tend vers 4.

We prove that the $q$ state Potts model and the random-cluster model with cluster weight $q>4$ undergo a discontinuous phase transition on the square lattice. More precisely, we show (1) Existence of multiple infinite-volume measures for the critical Potts and random-cluster models, (2) Ordering for the measures with monochromatic (resp. wired) boundary conditions for the critical Potts model (resp. random-cluster model), and (3) Exponential decay of correlations for the measure with free boundary conditions for both the critical Potts and random-cluster models. The proof is based on a rigorous computation of the Perron-Frobenius eigenvalues of the diagonal blocks of the transfer matrix of the six-vertex model, whose ratios are then related to the correlation length of the random-cluster model.

As a byproduct, we rigorously compute the correlation lengths of the critical random-cluster and Potts models, and show that they behave as $\exp(\pi^2/\sqrt{q-4})$ as $q$ tends to 4.

Percolation FK, modèle de Potts, modèle de "six-vertex", Bethe Ansatz, transition de phase
Random-cluster model, FK percolation, Potts model, Bethe Ansatz, six-vertex model, phase transition

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