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Régularité globale pour les ondes capillaires en dimension 3 dans le cas des fonds plats

Global regularity for the 3D finite depth capillary water waves

Xuecheng WANG
Régularité globale pour les ondes capillaires en dimension 3 dans le cas des fonds plats
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 4
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35Q35, 76B15.
  • Pages : 847-943
  • DOI : 10.24033/asens.2436

Dans cet article, on démontre la régularité globale, la dispersion des solutions et la non-existence des petites ondes progressives pour un système d' équations des ondes capillaires en dimension 3 avec des petites données initiales régulières et localisées, dans le cas des fonds plats.

Pour construire des solutions globales, on exploite les structures symétriques du système d'ondes capillaires et contrôle à la fois les évolutions des deux normes avec poids du profil d'une bonne variable substitutive, l'une d'ordre petit et l'autre d'ordre grand. En conséquence, on montre que les dérivées d'ordre $1+ \alpha$ de la solution non-linéaire décroissent rapidement au taux de $1/(1+t)$, bien que la solution elle-même ne décroisse pas aussi rapidement, où $\alpha$ est un nombre positif fixé.

In this paper, we prove global regularity, scattering, and the non-existence of small traveling waves for the $3D$ capillary waves system in the flat bottom setting for smooth localized small initial data.

To construct global solutions, we highly exploit the symmetric structures inside the capillary waves system and control both a low order weighted norm and a high order weighted norm of the profile of a good substitution variable over time to show that, although the nonlinear solution itself doesn't decay sharply at rate $1/(1+t)$ over time, the "$1+\alpha$'' derivatives of the nonlinear solution indeed decay sharply, where $\alpha$ is some fixed positive number.

Ondes capillaires, solution globale, fond plat
Capillary waves, global solution, flat bottom
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