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Sur le lieu des quadriques dégénérées dans l'espace de modules des courbes et des sufaces K3

Quadric rank loci on moduli of curves and $K3$ surfaces

Gavril FARKAS & Richárd RIMÁNYI
Sur le lieu des quadriques dégénérées dans l'espace de modules des courbes et des sufaces K3
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 4
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14C17, 14E15, 14H10, 14J28
  • Pages : 945-992
  • DOI : 10.24033/asens.2437

Etant donné deux fibrés vectoriels $ℰ$ et $ℱ$ sur une variété $X$ et une application de $\mathrm{Sym}^2(ℰ)$ dans $ℱ$, nous calculons la classe de cohomologie du lieu en $X$ où le kernel de cette application contient une quadrique de rang donné. Nos formules ont plusieurs applications à la théorie d'espaces des modules: (i) nous trouvons une preuve simple du théorème de Bocherds qui établit que la classe de Hodge dans l'espace de modules de surfaces K3 polarisés avec genre fixé, est du type Noether-Lefschetz, (ii) nous construisons un diviseur canonique explicite dans l'espace d'Hurwitz paramétrisant les applications de degré $k$ de courbes du genre $2k-1$ sur la droite projective, (iii) nous fournissons une formule fermée pour le diviseur de Petri dans l'espace de modules de courbes consistant de courbes canoniques contenues d'une quadrique de rang $3$ et (iv) nous construisons une myriade de diviseurs de petite pente dans ${M}_g$.

Assuming that $\phi:\mathrm{Sym}^2(ℰ)\rightarrow ℱ$ is a morphism of vector bundles on a variety $X$, we compute the class of the locus in $X$ where $\mathrm{Ker}(\phi)$ contains a quadric of prescribed rank. Our formulas have many applications to moduli theory: (i) we find a simple proof of Borcherds' result that the Hodge class on the moduli space of polarized $K3$ surfaces of fixed genus is of Noether-Lefschetz type, (ii) we construct an explicit canonical divisor on the Hurwitz space parametrizing degree $k$ covers of $P^1$ from curves of genus $2k-1$, (iii) we provide a closed formula for the Petri divisor on $M_g$ of canonical curves which lie on a rank $3$ quadric and (iv) we construct myriads of effective divisors of small slope on $M_g$.

Lieu de dégénérescence, lieu des quadriques dégénérées, espace de Hurwitz, espace de modules des courbes
Degeneracy loci, quadric rank loci, moduli space of K3 surfaces, Hurwitz space, moduli space of curves
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