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Bornes pseudospectrales et spectrales pour l'opérateur de vortex d'Oseen

Pseudospectral and spectral bounds for the Oseen vortices operator

Te LI, Dongyi WEI & Zhifei ZHANG
Bornes pseudospectrales et spectrales pour l'opérateur de vortex d'Oseen
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 4
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35Q30, 76D05
  • Pages : 993-1035
  • DOI : 10.24033/asens.2438

Dans cet article, nous résolvons la conjecture de Gallay sur la borne  inférieure spectrale et la borne pseudospectrale pour l'opérateur linéarisé des équations de Navier-Stokes dans $R^2$ autour des tourbillons Oseen en rotation rapide. Cela montre que l'opérateur linéarisé devient très non auto-jointif dans la limite de rotation rapide et que la rotation rapide a un fort effet stabilisant sur les tourbillons. La principale difficulté est de gérer la partie non locale de l'opérateur linéarisé. En introduisant la coordonnée polaire, l'opérateur linéarisé peut être réduit à une famille d'opérateurs unidimensionnels $\widetilde{\mathcal{H}}_k$ pour $| k | \geq 1$. Pour le cas de $ | k | \geq 2 $, la partie non locale pourrait être traitée comme une perturbation en établissant des estimations coercitives précises. Le cas de $ | k | \geq 1$ est critique dans un certain sens. Dans ce cas, la partie non locale est éliminée en construisant un opérateur d'onde. Après ces réductions, les estimations de résolution peuvent être prouvées en utilisant la méthode du multiplicateur.

In this paper, we solve Gallay's conjecture on the spectral lower bound and pseudospectral bound for the linearized operator of the Navier-Stokes equations in $R^2$ around rapidly rotating Oseen vortices. This shows that the linearized operator becomes highly non-selfadjoint in the fast rotating limit, and the fast rotation has a strong stabilizing effect on vortices. The main difficulty is to handle  the nonlocal part of the linearized operator. By introducing the polar coordinate, the linearized operator can be reduced to a family of one-dimensional operators $\widetilde{\mathcal{H}}_k$ for $|k|\ge 1$. For the case of $|k|\ge 2$, the nonlocal part could be treated as a perturbation by establishing some sharp coercive estimates. The case of $|k|=1$ is critical in some sense. For this case, the nonlocal part is eliminated by constructing a wave operator.  After these reductions, the resolvent estimates can be proved by using the multiplier method.

Vortex Oseen, la borne pseudospectrale, équations de Navier-Stokes
Oseen vortices, pseudospectral bound, Navier-Stokes equations
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