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Rings of differential operators over rational affine curves

Rings of differential operators over rational affine curves

Gail Letzter, Leonid Makar–Limanov
Rings of differential operators over rational affine curves
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  • Année : 1990
  • Fascicule : 2
  • Tome : 118
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 193-209
  • DOI : 10.24033/bsmf.2143
Soit $X$ une courbe algébrique irréductible sur $\mathbb {C}$ dont la normalisée est la droite affine et telle sur le morphisme de normalisation est injectif. Soit $D(X)$ l'anneau des opérateurs différentiels sur $X$. Nous étudions un invariant pour l'anneau $D(X)$ des opérateurs différentiels sur $X$, noté $\mathrm {codim}\, D(X)$. En particulier, nous montrons que $D(X)\cong D(Y)$ implique $\mathrm {codim}\, D(X)=\mathrm {codim}\, D(Y)$. Cela permet de distinguer dans certains cas les anneaux d'opérateurs différentiels de courbes non-isomorphes. En outre, nous décrivons les sous-algèbres $\mathrm {ad}$-nilpotentes maximales de $D(X)$. Nous montrons que si $B$ est une sous-algèbre $\mathrm {ad}$-nilpotente maximales de $D(X)$, alors $B$ est un sous-anneau de type fini d'un $\mathbb {C}[b]$ où $b$ désigne un élément du corps des fractions de $D(X)$ ; de plus, la clôture intégrale de $B$ est $\mathbb {C}[b]$.
Let $X$ be an irreducible algebraic curve over the complex numbers such that its normalization is the affine line, and the normalization map is injective. Let $D(X)$ denote its ring of differential operators. We find an invariant for $D(X)$ denoted as $\mathrm {codim}\, D(X)$. In particular, we show that $D(X)\cong D(Y)$ implies $\mathrm {codim}\, D(X)=\mathrm {codim}\,D(Y)$. This allows us to distinguish certain rings of differential operators of non-isomorphic curves. We also describe the maximal $\mathrm {ad}$-nilpotent subalgebras of $D(X)$. We show that if $B$ is a maximal $\mathrm {ad}$-nilpotent subalgebra of $D(X)$, then $B$ is a finitely generated subring of $\mathbb {C}[b]$ for some element $b$ of the quotient field of $D(X)$ and the integral closure of $B$ is $\mathbb {C}[b]$.